More Related Content
What's hot (20)
ค่ามาตรฐาน
- 1. กลุมสาระการเรี ยนรู้คณิตศาสตร์ ่ โดย นางสาวววิยะดา โพธิ์ทะโสม ค่ามาตรฐาน ค่ามาตรฐาน เป็นค่าที่ใช้เปรียบเทียบค่าของข้อมูล ตั้งแต่ 2 ตัวขึ้นไป ที่มาจากข้อมูลคนละชุด ว่าข้อมูลใดมี คุณภาพดีกว่ากัน และยังเป็นพื้นฐานสาคัญที่จะนาไปใช้ในการหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติได้อีกวิธีหนึ่งด้วย บทนิยาม ค่ามาตรฐานเป็นค่าที่บอกให้ทราบว่า ความแตกต่างระหว่างค่าข้อมูลนั้นๆกับค่าเฉลี่ยเลข คณิตของข้อมูลชุดนั้น เป็นกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน xi x Zi = s Zi = ถ้าให้ Zi แทน ค่ามาตรฐานของข้อมูลแต่ละตัว xi แทน ข้อมูลแต่ละตัว x แทน ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดนั้น ๆ S แทน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดนั้น ๆ 2. หาค่ามาตรฐานของข้อมูล ในการหาค่ามาตรฐานของข้อมูลใดๆ เราสามารถหาได้โดย อาศัยบทนิยาม ดังได้กล่าวมาแล้วข้างต้น ดังตัวอย่างต่อไปนี้ ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่ามาตรฐานของทุกค่าในข้อมูล 1,2,3,4,5 วิธีทา ค่าเฉลี่ยเลขคณิต x = 12 34 5 5 = 3 x N 2 i x ค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน S = i 1 N x 5 2 2 2 2 2 = (1 – 3) + (2 – 3) + (3 – 3) + (4 – 3) + (5 – 3) 2 x i 1 = 4+1+0+1+4 = 10 S = 10 5 = 2 = 1.41
- 2. กลุมสาระการเรี ยนรู้คณิตศาสตร์ ่ โดย นางสาวววิยะดา โพธิ์ทะโสม ค่ามาตรฐาน Zi ของ xi หาได้จากสูตร xi x Zi = s จะได้ค่ามาตรฐาน ดังนี้ xi Zi 1 13 = – 1.42 1 . 41 2 2 3 = – 0.71 1 . 41 3 33 = 0 1 . 41 4 4 3 = 0.74 1 . 41 5 5 3 = 1.42 1 . 41 ตัวอย่างที่ 2 ในการสอบครั้งหนึ่ง ถ้าค่าเฉลี่ยเลขคณิต และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของ คะแนนสอบเป็น 500 และ 50 คะแนน ตามลาดับ ถ้าถือเกณฑ์ตัดสินว่า ผู้ที่สอบได้ต้องได้คะแนนตั้งแต่ 600 คะแนนขึ้นไป แล้วอยากทราบว่า คนที่สอบได้นั้นต้องสอบได้ค่ามาตรฐานอย่างต่าเป็นเท่าใด วิธีทา จาก Zi = x i x s จากโจทย์ x = 500 , S = 50 , xi = 600 แทนค่า 600 500 Zi = 50 จะต้องได้ค่ามาตรฐานอย่างต่าที่สุด 2.0 จึงจะสอบได้ ตัวอย่างที่ 3 ในการสอบครั้งหนึ่ง ถ้าค่าเฉลี่ยเลขคณิต และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของ คะแนนสอบเป็น 500 และ 50 คะแนน ตามลาดับ ถ้าคะแนนการสอบเต็ม 1,000 คะแนน เด็กคนหนึ่งสอบได้คะแนน ซึ่งคิดเป็รค่ามาตรฐานได้เท่ากับ 1.8 แล้วอยากทราบว่า เด็กคนนี้สอบได้กี่เปอร์เซ็นต์ วิธีทา xi x จาก Zi = s จากโจทย์ x = 500 , S = 50 , Zi = 1.8 แทนค่า
- 3. กลุมสาระการเรี ยนรู้คณิตศาสตร์ ่ โดย นางสาวววิยะดา โพธิ์ทะโสม x i 500 1.8 = 50 xi = 590 คะแนน คะแนนเต็ม 1,000 คะแนน สอบได้ 590 คะแนน คะแนนเต็ม 100 คะแนน สอบได้ 590 100 = 59 คะแนน 1,000 เด็กคนนี้สอบได้ 59 % การเปรียบเทียบค่าของข้อมูล โดยใช้ค่ามาตรฐาน ค่ามาตรฐาน เป็นค่าที่ใช้เปรียบเทียบค่าของข้อมูล ตั้งแต่ 2 ตัวขึ้นไป ว่าข้อมูลตัวใด มีคุณภาพดีกว่ากัน เช่น ต้องการเปรียบเทียบผลการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ กับ ภาษาไทย ของ นักเรียนคนหนึ่งในชั้นเรียนว่า เขาจะเรียนวิชาใดได้ดีกว่า เราจะนาคะแนนที่นักเรียนคนนี้สอบได้ มาเปรียบเทียบกันเลยย่อมไม่ถูกต้องนัก ถึงแม้ว่าจะใช้คะแนนเต็มเท่ากันก็ตาม ทั้งนี้เพราะความ ยากง่ายของแต่ละวิชาต่างกัน ดังนั้นจึงจาเป็นที่จะแปลงคะแนนที่สอบได้ในแต่ละวิชา ให้เป็น ค่ามาตรฐานเสียก่อน โดยนาคะแนนที่สอบได้นั้น ลบด้วยค่าเฉลี่ยเลขคณิต ( x ) แล้วหารด้วย ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (S) ในแต่ละรายวิชานนั้น ถ้าค่ามาตรฐานวิชาใดสูงกว่า ถือว่าเขาสอบ วิชานั้นได้ดีกว่า ดังตัวอย่าง ตัวอย่างที่ 1 ในการสอบคัดเลือกเข้าทางานในหน่วยงานแห่งหนึ่ง ซึ่งมีวิชาที่ต้องสอบ 2 วิชา ปรากฎว่า จากผู้สมัครทั้งหมดมีผู้ที่สอบได้คะแนนรวมกันสูงสุด 3 คน คือ นายมงคล , นางสาวนารีรัตน์ และนายสุชาติ ซึ่งได้คะแนนในแต่ละวิชา ดังนี้ วิชาที่ 1 วิชาที่ 2 นายมงคล 70 72 นางสาวนารีรัตน์ 80 65 นายสุชาติ 72 73 ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ( x ) 75 70 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (S) 5 10 ถ้าหน่วยงานแห่งนี้ ต้องการรับเพียงคนเดียว และสารองหนึ่งคน ผู้ที่จะได้รับการคัดเลือกไว้เป็นตัวจริง และตัวสารองคือใคร วิธีทา หาค่ามาตรฐานในแต่ละวิชาของนายมงคล ได้ดังนี้ Z1 = 70 75 = –1 5 72 70 Z2 = = 0.2 10 1 0.2 ค่ามาตรฐานเฉลี่ยของนายมงคล = = –0.4 2
- 4. กลุมสาระการเรี ยนรู้คณิตศาสตร์ ่ โดย นางสาวววิยะดา โพธิ์ทะโสม หาค่ามาตรฐานในแต่ละวิชาของนางสาวนารีรัตน์ ได้ดังนี้ Z1 = 80 75 = 1 5 65 70 Z2 = = –0.5 10 1 0.5 ค่ามาตรฐานเฉลี่ยของนางสาวนารีรัตน์ = = 0.25 2 หาค่ามาตรฐานในแต่ละวิชาของนายสุชาติ ได้ดังนี้ Z1 = 72 75 = –0.6 5 73 70 Z2 = = 0.3 10 0.6 0.3 ค่ามาตรฐานเฉลี่ยของนายสุชาติ = = –0.15 2 ค่ามาตรฐาน (Z) ของนางสาวนารีรัตน์มากที่สุด และรองลงมาคือ นายสุชาติ ตัวจริง คือ นางสาวนารีรัตน์ และสารอง คือ นายสุชาติ ตัวอย่างที่ 2 ทวีศักดิ์สอบวิชาคณิตศาสตร์ และวิชาภาษาไทยได้ 56 และ 65 คะแนน ตามลาดับ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ และภาษาไทย เท่ากับ 56 และ 68 คะแนน ตามลาดับ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของ คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ และภาษาไทยเท่ากับ 3 และ 5 คะแนน ตามลาดับ จงหาว่าทวีศักดิ์เรียนวิชาไหนได้ดีกว่ากัน วิธีทา xi x จากสูตร ค่ามาตรฐาน Zi = s จากโจทย์กาหยดให้ สรุปได้ดังนี้ วิชา คะแนน (xI) x S คณิตศาสตร์ 56 56 3 ภาษาไทย 65 68 5 หาค่ามาตรฐานของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ ได้ดังนี้ Z1 = 56 56 3 = 0 หาค่ามาตรฐานของคะแนนสอบวิชาภาษาไทย ได้ดังนี้ Z2 = 65 68 5 = –0.6
- 5. กลุมสาระการเรี ยนรู้คณิตศาสตร์ ่ โดย นางสาวววิยะดา โพธิ์ทะโสม ค่ามาตรฐานของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ ของทวีศักดิ์ สูงกว่า ค่ามาตรฐานของคะแนนสอบวิชาภาษาไทย แสดงว่า ทวีศักดิ์เรียนวิชาคณิตศาสตร์ได้ดีกว่าวิชาภาษาไทย ตัวอย่างที่ 3 ในการสอบคัดเลือกเข้าเรียนต่อในสถาบันแห่งหนึ่ง วิชาที่ต้องสอบมี 3 วิชา คือ คณิตศาสตร์ ภาษาไทย และภาษาอังกฤษ นาย ก. นาย ข. และนาย ค. เข้าสอบได้คะแนน ดังนี้ คณิตศาสตร์ ภาษาไทย ภาษาอังกฤษ นาย ก. 70 75 70 นาย ข. 75 75 65 นาย ค. 70 70 70 ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ( x ) 70 80 70 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (S) 5 5 10 จงเปรียบเทียบความสามารถในการเรียนของคนทั้งสาม วิธีทา หาค่ามาตรฐานในแต่ละวิชาของนาย ก. ได้ดังนี้ Z1 = 70 70 = 0 5 75 80 Z2 = = –1 5 70 70 Z3 = = 0 10 0 1 0 ค่ามาตรฐานเฉลี่ยของนาย ก. = = –0.33 3 หาค่ามาตรฐานในแต่ละวิชาของนาย ข. ได้ดังนี้ Z1 = 75 70 = 1 5 75 80 Z2 = = –1 5 65 70 Z3 = = –0.5 10 1 1 0.5 ค่ามาตรฐานเฉลี่ยของนาย ข. = = –0.17 3 หาค่ามาตรฐานในแต่ละวิชาของนาย ค. ได้ดังนี้ Z1 = 70 70 = 0 5
- 6. กลุมสาระการเรี ยนรู้คณิตศาสตร์ ่ โดย นางสาวววิยะดา โพธิ์ทะโสม 70 80 Z2 = = –2 5 70 70 Z3 = = 0 10 0 20 ค่ามาตรฐานเฉลี่ยของนาย ค. = = –0.67 3 ค่ามาตรฐานของนาย ข. มีค่ามากที่สุด รองลงมา คือ นาย ก. และ นาย ค. ตามลาดับ แสดงว่า นาย ข. มีความสามารถในการเรียนมากที่สุด รองลงมา คือ นาย ก. และ นาย ค. ตามลาดับ ข้อสังเกต 1. ค่ามาตรฐานไม่มีหน่วย 2. ผลรวมของค่ามาตรฐานของข้อมูลชุดหนึ่ง ๆ จะเท่ากับศูนย์ 3. ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่ามาตรฐานเท่ากับศูนย์ 4. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของค่ามาตรฐานเท่ากับ 1 5. ค่ามาตรฐานของข้อมูลใด ๆ จะเป็นบวก ศูนย์ หรือลบก็ได้ ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับค่าของ ข้อมูลนั้นๆ กับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดนั้น ว่าค่าใดจะมากกว่ากัน 6. ค่ามาตรฐานของข้อมูลใด ๆ โดยทั่วไป จะมีค่าตั้งแต่ – 3 ถึง + 3 แต่อาจจะมี ค่ามาตรฐานของข้อมูลบางค่าที่สูงกว่า + 3 หรือต่ากว่า – 3 เล็กน้อยก็ได้ 7. ผลรวมกาลังสองของค่ามาตรฐานทุกค่าในข้อมูล เท่ากับจานวนข้อมูลในชุดนั้น แบบฝึกทักษะ 1. ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ ปรากฎว่าได้ x = 70 คะแนน และ S = 10 คะแนน ในการสอบ วิชา เคมี ปรากฎว่าได้ x = 40 คะแนน และ S = 5 คะแนน ถ้านายดาสอบได้ 65 คะแนน ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ และนายแดงสอบได้ 35 คะแนน ในการสอบวิชาเคมี จงตรวจดูว่า นักเรียนคนไหนได้ผลการสอบดีกว่ากัน ……………………………………………………………………..………..……………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………..………..……………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………..………..……………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………..………..……………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………..………..……………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………..………..……………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………..………..……………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………..………..……………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………..………..……………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………..………..……………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………..………..………………………………………………………………………………..
- 7. กลุมสาระการเรี ยนรู้คณิตศาสตร์ ่ โดย นางสาวววิยะดา โพธิ์ทะโสม 2.ถ้าคะแนนสอบวิชาต่าง ๆ ของเด็กชายคมสันต์ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของ คะแนนสอบแต่ละวิชาของนักเรียนทั้งหมดในชั้นที่เด็กชายคมสันต์เรียนอยู่ เป็นดังนี้ วิชา คะแนนที่สอบได้ ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ภาษาไทย 80 85 15 ภาษาอังกฤษ 60 75 20 วิทยาศาสตร์ 70 65 5 อยากทราบว่า เด็กชายคมสันต์เรียนวิชาไหนดีกว่ากัน ……………………………………………………………………..………..……………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………..………..……………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………..………..……………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………..………..……………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………..………..……………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………..………..……………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………..………..……………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………..………..……………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………..………..……………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………..………..……………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………..………..……………………………………………………………………………….. 3. ตารางต่อไปนี้ เป็นผลการสอบวิชาคณิตศาสตร์ และวิชาเคมี ของนายศิริ ซึ่งเป็นนักเรียนโรงเรียน แห่งหนึ่ง จงหาว่านายศิริเรียนวิชาใดได้ดีกว่ากัน ภาษาไทย ภาษาอังกฤษ คณิตศาสตร์ วิชาคณิตศาสตร์ 78 76 10 วิชาเคมี 79 80 20 ……………………………………………………………………..………..……………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………..………..……………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………..………..……………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………..………..……………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………..………..……………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………..………..……………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………..………..……………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………..………..……………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………..………..……………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………..………..……………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………..………..………………………………………………………………………………..