ภาคตัดกรวย
3 likes5,229 views
ภาคตัดกรวย วิชาคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 โรงเรียนตาคลีประชาสรรค์
ภาคตัดกรวย
- 1. ภา ค ตัดก รวย พาราโบลา (parabola)
- 2. บทนิยาม • พาราโบลา คือ เซตของจุดทุกจุด บนระนาบ ซึ่งอยู่ห่างจากเส้นตรงที่ เส้นหนึ่งบนระนาบและจุดคงที่จุด หนึ่งบนระนาบนอกเส้นตรงคงที่นั้น เป็นระยะทางเท่ากันเสมอ
- 3. เลตัส เรกตัม • เลตัส เรกตัม ( latus rectum ) คือ คอร์ด ที่ ตั้ง ฉากกับ แกนพาราโบลาและผ่า น โฟกัส ของพาราโบลา ( ส่ว นของเส้น ตรงที่ม ีจ ุด ปลายอยูบ นพาราโบลา ่ เรีย กกว่า คอร์ด (chord)ของ พาราโบลา ) ความยาวของเลตั สเรกตัม ใช้วมีค“ความ กว้า า กับของ เลตัส เรกตัม ัด วามยาวเท่ ง ” 4c พาราโบลา หน่ว ย
- 4. • เส้น ตรงคงที่ เรีย กว่า ไดเรกตริก ซ์ข อง พาราโบลา • จุด คงที่ เรีย กว่า โฟกัส ของ เส้น ตรง พาราโบลา คงที่( ไดเ จุด ใดๆบน รกตริก ซ์) พาราโบลา Y X O แกนของพาราโบล จุด ยอดของพาราโบลา จุด คงที่ (โฟกัส )
- 5. 1. พาราโบลาที่ม จ ุด ยอดทีอ ยู่ ่ 1. พาราโบลาที่มี ีจ ุด ยอดทีอ ยู ที่จ ุด (0 ,, 0) ที่จ ุด (0 0) 1) มีแ กน X เป็น แกนของพาราโบลา x =Y Y x = -c D(- - c P(X, P(X, D(- C,Y) Y) Y) C,Y) V(0, F(c, F(c, V(0, 0) 0) 0) 0) เมื่อ c > 0 เปิด เมื่อ c < 0เปิด ทางขวา ทางซ้า ย
- 6. • กำาหนดให้ P(x, y) เป็นจุดใดๆบนพาราโบลา และ PD ตั้งฉากกับไดเรกตริกซ์ที่จุด D(x, –c) จากบทนิยามจะได้ PF = PD ยกกำาลังสองทั้งสองข้างจะได้ ดังนัน ้
- 7. นั่น คือ สมการพาราโบลา x 2 = 4cy จุดยอดอยู่ที่จุด(0, 0) จุดโฟกัสอยู่ที่จุด(0, c) ไดเรกตริกซ์คือ เส้นตรง y = – c และมีแกน Y เป็นแกนของพาราโบลา ถ้า c > 0 แล้ว x2= 4cy เป็นสมการของพาราโบลา ที่มีกราฟหงายขึ้น ถ้า c < 0 แล้ว x2= 4cy เป็นสมการของพาราโบลา ที่มีกราฟควำ่าลง
- 8. ตัวอย่างที่ 1 จงหาสมของการพาราโบลา จากสิ่งที่ กำาหนดให้ดังต่อไปนี้ (1) จุดโฟกัสอยู่ที่ (0, 5) และจุดยอดอยูที่ (0, 0) ่ จากโจทย์ จุดโฟกัสอยู่ที่ (0, 5) และจุดยอดอยูที่ (0, 0) ่ แสดงว่าแกนพาราโบลาคือ แกน Y (เส้นตรง x = 0) c = 5 เป็นกราฟพาราโบลาหงาย ขึ้น ไดเรกตริกซ์คือเส้นตรง y = –5 ลาตัสเรกตัมยาวเท่ากับ | 4(5) | = 20 หน่วย สมการอยูในรูป x2= 4cy ่ จะได้สมการ x2= 4(5)y
- 9. Y (- 1 10,5 0 (10, 5 ) 5) X -1 - 5 1 0 5 F(0, 0 - 5) 5
- 10. 2) มีแ กน Y เป็น แกนของ พาราโบลา Y Y y = D(x, F(0, -c -c) c) P(x, X P(x,X V(0, y) V(0 y = y) 0) D(x,-c) ,0) F(0,c -c ) เมื่อ c > 0 หงาย เมื่อ c < 0 ขึ้น ควำ่า ลง
- 11. • กำาหนดให้ P(x, y) เป็นจุดใดๆบนพาราโบลา และ PD ตั้งฉากกับไดเรกตริกซ์ที่จุด D(– c, y) ยกกำาลังสองทั้งสองข้าง ดังนั้น
- 12. • นั่น คือ สมการพาราโบลา y2 = 4cx จุดยอดอยู่ทจุด (0,0) ี่ จุดโฟกัสอยู่ทจุด (C,0) ี่ ไดเรกตริกซ์คือ เส้นตรง X = -C และมีแกน X เป็น แกนของพาราโบลา ถ้า C>0 แล้ว y2 = 4cx เป็นสมการของพาราโบลา ที่มีกราฟทางขาว ถ้า C<0 แล้ว y2 = 4cx เป็นสมการของพาราโบลา ที่มีกราฟทางซ้าย
- 13. ข้อสังเกต 1) ระยะทางจากจุด ยอดไปยัง โฟกัส เท่า กับ ระยะห่า ง ระหว่า งจุด ยอดกับ ไดเรกตริก ซ์ 2) แกนของพาราโบลาผ่า นจุด ยอดและโฟกัส 3) แกนของพาราโบลาเป็น แกนสมมาตร
- 14. ตัวอย่างที่ 2 จงหาสมการพาราโบลา จากสิงที่กำาหนดให้ ่ ดังต่อไปนี้ (1) จุดโฟกัสอยู่ที่ (5, 0) และจุดยอดอยูที่ (0, 0) ่ วิธีทำา จากโจทย์ จุดโฟกัสอยู่ที่ (5, 0) และจุดยอดอยูที่ ่ (0, 0) แสดงว่าแกนพาราโบลาคือ แกน X (เส้นตรง y = 0) c = 5 เป็นกราฟพาราโบลาเปิดทางขวา ไดเรกตริกซ์คือเส้นตรง x = –5 ลาตัสเรกตัมยาว | 4(5) | = 20 หน่วย สมการอยู่ในรูป y2 = 4cx จะได้สมการ y2= 4(5)x ดังนั้นสมการพาราโบลาทีต้องการคือ y2= 20x ่
- 15. X= Y -5 1 (5, 05 10) F(5, 50) 1 X 0 - 0 5 -- (5, 15 -10) 0
- 16. จุดศูนย์กลางอยู่ที่ (h , k) 1. เมื่อแกนของพาราโบลาขนานกับแกน X การหาสมการพาราโบลาทีมจุดยอดอยู่ทจุด(h, k) และมี ่ ี ี่ แกนขนานกับแกน X X = h-c X = h-c Y Y P(x , P , Y (x Y ´ y) y) ´ D D V(h , F +c, (h F +c, (h V(h , X k) X k) k) k) ´ X ´ X 0 0
- 17. กำาหนดให้ V(h, k) เป็นจุดยอด และ จุดโฟกัสอยู่ที่ F(h + c, k) เมือเลื่อนแกนไปทีจุด (h, k) จะได้จุดยอด และ ่ ่ โฟกัสของพาราโบลาเมือเทียบกับแกนใหม่มพกัดเป็น (0, ่ ี ิ 0) และ (c, 0) ตามลำาดับ • ถ้าให้ P(x´, y´) เป็นพิกัดของจุดบนพาราโบลาเมื่อ เทียบกับแกนใหม่ จะได้สมการของพาราโบลาเมื่อ เทียบกับแกนใหม่ คือ (y´)2= 4cx´ แต่ y´= y – k และ x´= x – h 2 3 ดัง นัน จะได้ส มการพาราโบลาเมือ เทีย บ ้ ่ กับ แกนเดิม คือ (y – k) 2 = 4c(x – h)
- 18. นั่น คือ สมการพาราโบลา (y – k) 2= 4c(x – h) มีจ ุด ยอดอยู่ท ี่ (h, k) โฟกัส อยู่ท ี่จ ุด (h +c, k) ไดเรกตริก ซ์ค อ เส้น ตรง x = h – c ื แกนของพาราโบลาขนานกับ แกน X อยู่ บนเส้น ตรง y = k ความยาวของลาตัส เรกตัม (L atus rectum) เท่า กับ |4c | หน่ว ยเมือ c > 0 เป็น กราฟ ่ พาราโบลาเปิด ทางขวา และ c < 0 เป็น กราฟพาราโบลาเปิด ทาง ซ้า ย
- 19. 1. เมือ แกนของพาราโบลาขนานกับ ่ แกน Y การหาสมการพาราโบลาที่มจุดยอดอยูทจุด(h, k) และมี ี ่ ี่ แกนขนานกับแกน Y Y(h ,k F Y Y Y P , (x + c) ´ Y = k-c ´ y) X 0 V(h , V(h , k) D Y = k-c k) X P ,X (x 0 D ´ F ,k (h y) ´ X + c)
- 20. กำาหนดให้ V(h, k) เป็นจุดยอด และ จุดโฟกัสอยูที่ F(h , k ่ + c) เมือเลื่อนแกนไปทีจุด (h, k) จะได้จุดยอด และโฟกัส ่ ่ ของพาราโบลาเมือเทียบกับแกนใหม่มพกัดเป็น (0, 0) ่ ี ิ และ (0, c) ตาลำาดับ • ถ้าให้ P(x´, y´) เป็นพิกัดของจุดบนพาราโบลาเมื่อ เทียบกับแกนใหม่ จะได้สมการของพาราโบลาเมือ ่ เทียบกับแกนใหม่ คือ (x´)2= 4cy´ แต่ x´= x – h และ y´= y – k ดัง นั้น จะได้ส มการพาราโบลาเมือ เทีย บกับ แกน ่ เดิม คือ (x – h) 2= 4c(y – k)
- 21. นั่น คือ สมการพาราโบลา (x – h) 2= 4c(y – k) มีจ ุด ยอดอยูท ี่( h, k) ่ โฟกัส อยู่ท ี่จ ุด (h , k + c) ไดเรกตริก ซ์ค อ เส้น ตรง y = k – c ื แกนของพาราโบลาขนานกับ แกน Y อยู่บ น เส้น ตรง x = h ความยาวของลาตัส เรกตัม (L atus rectum) เท่า กับ |4c | หน่ว ย เมือ c > 0 เป็น กราฟพาราโบลาหงายขึ้น ่ และ c < 0 เป็น กราฟพาราโบลาควำ่า ลง
- 22. ตัวอย่างที่ 3 จงหาสมการของพาราโบลา จากสิ่งที่ กำาหนดให้ดังต่อไปนี้ (1) จุดยอดอยู่ที่ (– 2, 3) และจุดโฟกัสอยูที่ (1, 3) ่ วิธีทำา จากโจทย์ จุดยอดอยูที่ V(– 2, 3) = V(h, k) จะได้ ่ h=–2, k=3 จุดโฟกัสอยู่ที่ F(h + c, k) = F(1, 3) จะได้ h + c = 1 ซึ่ง –2 + c = 1 : c = 3 แกนพาราโบลาขนานกับ X คือ เส้นตรง y = 3 (y = k) ไดเรกตริกซ์คือเส้นตรง x = – 5 (x = h – c = –2 – 3 = – 5) เป็นกราฟพาราโบลาเปิดทางขวา (c >0) ลาตัสเรกตัมยาวเท่ากับ | 4(3) | = 12 หน่วย สมการอยู่ในรูป (y – k)2= 4c(x – h)
- 23. y 2– 6y + 9 = 12x + 24 y 2– 6y – 12x – 15 = 0 ดังนัน สมการพาราโบลาทีต้องการคือ y 2– 6y – 12x – 15 ้ ่ = 0 Y Y (1, ´ 9) V(- F(1, 2,3) 3) X ´X X= F(1,- -5 3)
- 24. ตัวอย่างที่ 4จงหาสมการของพาราโบลา ซึ่งมีจุดยอดอยู่ทจF(− เนิด) ี่ ุดกำา 3,0 และโฟกัสอยู่ที่จุด 2 วิธีทำา นำาสิ่งทีกำาหนดให้ไปเขียนกราฟคร่าวๆ เพือดูว่า ่ ่ จัดอยู่ในสมการแบบใด จากกราฟจะได้สมการ พาราโบลาอยูในรูป่ y2 = 4cx จาก − 2,0 3 F( ) จะได้ − 3 = c2 −2 3 นำา c = ไปแทนค่าในสมการ y2 = 4cx จะได้ − 2y2 3 = 4( )x ดัง นัน สมการของพาราโบลาที่ไ ด้ คือ ้ y 2 = -6x
- 25. สมาชิ ก 1.) น.ส. กุลธร กลำ้ากระโทก ชัน ม.4/8 เลขที่ 11 ้ 2.) น.ส. ชญาภา ถีติปริวัตร ชัน ม.4/8 เลขที่ 12 ้ 3.) น.ส. ชีราพรรณ แก่นกลางดอน ชัน ม.4/8 เลข ้ ที่ 14 4.) น.ส. ธัญจิรา พวงทอง ชัน ม.4/8 เลขที่ 21 ้ 5.) น.ส. พภัสรา เดชอยู่ ชัน ม.4/8 เลข ้ ที่ 32