тимом 2016 2_5
Download as ppt, pdf0 likes870 views
Документ представляет методику изучения числовых систем, акцентируя внимание на понятии числа в математике как основополагающем элементе школьного курса. Обсуждаются основные этапы и историческое развитие понятия числа, а также пути его расширения и цели изучения числовых систем. В документе также предложены логические и исторические схемы, используемые в школьной практике.
тимом 2016 2_5
- 1. канд. пед. наук, доц.канд. пед. наук, доц. Вячеслав Евгеньевич ПырковВячеслав Евгеньевич Пырков pyrkovve@yandex.rupyrkovve@yandex.ru ЛекцияЛекция 55.. Методика изученияМетодика изучения числовых систем:числовых систем: натуральные числанатуральные числа
- 2. ПланПлан 1. Понятие числа в математике 2. Основные этапы развития понятия числа 3. Расширения понятия числа 4. Цели изучения линии чисел 5. Этапы изучения линии чисел 6. Общая схема изучения чисел
- 3. Понятие числа в математикеПонятие числа в математике ЧислоЧисло – стержневое понятие школьного курса, фундамент, на котором строится изучение функций, тождественных преобразований, уравнений и т.п.; понятие числа относится к основным понятиям математики Числа возникли из потребностей счетапотребностей счета и измеренияизмерения и претерпели длительный путь исторического развития, в ходе которого менялись запас чисел, их названия изапас чисел, их названия и обозначенияобозначения.
- 4. Основные этапы развития числаОсновные этапы развития числа
- 6. Расширение понятия числаРасширение понятия числа Пусть множество АА расширяется до множества ВВ. Тогда должны выполняться условия: 1)1)АА должно быть подмножеством ВВ. 2)Все операции и отношения над элементами из множества АА те же, что и для элементов из множества ВВ, но их смысл для элементов АА, рассматриваемых как элементы ВВ, должен совпадать с тем, какой они имели до расширения в множестве АА. 3)В множестве ВВ должна быть выполнима операция, которая в множестве АА была невыполнима или не всегда выполнима. 4)Расширение ВВ должно быть «минимальным» среди всех возможных расширений множества АА, удовлетворяющих условиям 1-3, т.е. таким, чтобы не существовало никакого подмножества ВВ, содержащего АА и удовлетворяющего тем же условиям.
- 7. Пути расширения понятия числаПути расширения понятия числа ЛОГИЧЕСКАЯ СХЕМА РАСШИРЕНИЯ ПОНЯТИЯ ЧИСЛАЛОГИЧЕСКАЯ СХЕМА РАСШИРЕНИЯ ПОНЯТИЯ ЧИСЛА NN →→ ZZ →→ QQ →→ RR →→ CC ИСТОРИЧЕСКАЯ СХЕМА РАСШИРЕНИЯ ПОНЯТИЯ ЧИСЛАИСТОРИЧЕСКАЯ СХЕМА РАСШИРЕНИЯ ПОНЯТИЯ ЧИСЛА NN00 →→ QQ++ →→ QQ →→ RR →→ CC В установившейся школьной практике используется историческая последовательность развития понятия числа: дроби изучаются раньше отрицательных чисел.
- 8. Цели изучения линии чиселЦели изучения линии чисел
- 9. Этапы изучения линии чиселЭтапы изучения линии чисел
- 10. Общая схема изучения чиселОбщая схема изучения чисел
- 11. Общая схема изучения чиселОбщая схема изучения чисел
Editor's Notes
- #3: Лишь постепенно человечество достигло современного понятия о числах и современной системы обозначения чисел. Рассмотрим основные этапы развития числа:
- #4: Лишь постепенно человечество достигло современного понятия о числах и современной системы обозначения чисел. Рассмотрим основные этапы развития числа:
- #5: 1 этап: Зарождение понятия N-числа в связи с примитивным счетом конкретных предметов | путем сопоставления с пальцами рук и ног человека или нескольких людей, если число предметов превышало 20. [У некоторых народов для 5 название «рука», для 20 название «весь человек»]. Первоначально числа были именованными | т.е. одни числа использовались для счета людей, другие – для счета лодок, кокосовых орехов и т.д.. Связь первых десяти натуральных чисел с пальцами рук человека является неоспоримым фактом: Термин «digiti» (от лат.- палец) – означает цифра, первые девять натуральных чисел и 0. В «Арифметике» Магницкого числа 1...9 называются «перстами», т.е пальцами. В современном итальянском языке слово «le dita» означает числа первого десятка и пальцы. Пальцевым счетом многие объясняют триумф десятичной системы счисления, а также широкое распространение двадцатеричной СС (майя в Америке, баски и кельты в Европе и др.) Человечество прошло путь от представления «один» и «много» к понятию о числе как о количестве определенных предметов, а затем к понятию числа отвлеченного. 2 этап: - создание достаточно совершенных форм записи чисел (др. цивилизации); - Появление дробей (аликвотные – Египет, систематические - Вавилон); Из решения задач практического содержания сложились правила арифметических действий; Созданы таблицы квадратов, кубов, обратных величин целых чисел (Вавилон); Бурное развитие учения о N-числах в школе Пифагора (580-500 г. до н.э.), считавшей число – основным началом всего мироздания. Открытие существования несоизмеримых отрезков, лишенных числового образа привело к краху пифагорейской школы и первому кризису в математике. 3 этап: Появление и распространение понятия положительного и отрицательного числа (Китай, первое тысячелетие н.э.). Конец 15 в. немецкий математик Видман ввел современное обозначение положительных и отрицательных чисел знаками «+» и «-» | Заметим, что еще в конце 16 в. многие математики не признавали отрицательных чисел. Так, французский математик Виет (1540-1603) при выводе названных по его имени соотношений между корнями и коэффициентами квадратного уравнения ограничивался случаем положительных корней | Лишь с 17 в. отрицательные числа получили полное признание | Мнимые числа были введены итальянским математиком Бомбелли в 1572 г. 4 этап: Основным объектом изучения становятся действительные числа. Оперирование на основе наглядных представлений: изображая числа точками прямой линии. Развивается теория комплексных чисел. 5 этап: Появление гиперкомплексных чисел, как обобщение понятия комплексного числа. Исторически первым примером гиперкомплексных чисел стали кватернионы
- #6: Современная математика имеет дело со следующими числовыми множествами: Числовое множество считается построенным, если определены: элементы множества (или множество в целом) отношение эквивалентности для элементов алгебраические операции сложения и умножения с определенными свойствами.
- #7: Современное учение о числе базируется на арифметике N-чисел. Дальнейшее развертывание этого учения состоит в последовательном расширении, чисто конструктивным путем множества N-чисел. Построение расширения числового множества должно удовлетворять четырем условиям. Примеры: 2. При изучении N-чисел рассматривалась операция умножения N-чисел, которая сводилась к сложению. Изучение дробных чисел: вводим операцию умножения дробных чисел, которая носит уже другой характер. Теряет ли при этом смысл правило умножения N-чисел? Нет. 3. В этом условии заключена основная цель расширения множества А: NZ: «-», 3-5; ZQ: «/», 5/3; QR: «», 3; RC: «-1», i, решение квадратных уравнений с D<0.
- #8: Исходя из определения понятия расширения множества, т.е. из внутренних потребностей самой математики, может быть составлена «логическая» схема расширения понятия числа. Исходя из истории развития математики, может быть составлена «историческая» схема расширения понятия числа.
- #11: Общая методическая схема изучения конкретного числового множества состоит из следующих этапов: 1. 1) (арифметическую, геометрическую, измерительную, алгебраическую) 2) (чтение и запись «новых» чисел; изображение «новых» чисел на числовом луче или на числовой оси; связь «новых» чисел с ранее изученными) 3. При изучении операций придерживаются следующей последовательности шагов: 2)(геометрическим, путем сведения «новых» чисел к ранее изученным числам) 5) на специально составленных упражнениях И др.: - применение рассматриваемой операции для решения задач и выполнения упражнений и т.д. - конструирование примеров и задач, связанных с рассматриваемой операцией.