�ݺ�ߣ

1

เอกสารประกอบการเรี ยนวิชาคณิตศาสตร์ ค 33202 เรื่ อง ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชน ระดับชั้นม.6
ั

ความสั มพันธ์ เชิงฟังก์ ชันระหว่างข้ อมูล
เมื่อนาคู่อนดับ (x,y) จานวนหนึ่ง มาเขียนกราฟ เรี ยกกราฟที่มีลกษณะเป็ นจุดว่า แผนภาพการ
ั
ั
กระจาย ซึ่งจะทาให้เห็นลักษณะความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปร x กับ y และสามารถหาความสัมพันธ์
ระหว่าง x กับ y เป็ นสมการ ในรู ป y = f(x) เมือ x คือ ตัวแปรอิสระ และ y คือตัวแปรตาม หรื อในรู ป
่
x = f(y) เมื่อ y คือ ตัวแปรอิสระ และ x คือ ตัวแปรตามได้
วิธีการสร้างความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปร x และ y ให้อยูในรู ปสมการ เรี ยกว่า ระเบียบวิธีกาลัง
่
สองน้อยที่สุด (Method of Least Squares) เป็ นวิธีที่ทาให้ได้ค่า y มีความคลาดเคลื่อนกาลังสอง (Square
Error) ต่าที่สุด และสมการที่ได้ เรี ยกว่า สมการปกติ
รู ปแบบความสัมพันธ์ของ x และ y ที่จะศึกษาในระดับนี้ ได้แก่ เส้นตรง พาราโบลา และเอกซ์
โพเนนเชียล
1. xi , y i เป็ นข้อมูลที่มีความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชนเป็ นเส้นตรง
ั
1.1 เมื่อ x เป็ นตัวแปรอิสระ และ y เป็ นตัวแปรตาม มีสมการทัวไปคือ
่
ˆ
Y  mx  c
เมื่อ m, c เป็ นค่าคงตัว หาค่า m, c ได้จากสมการปกติ ดังนี้
n

n

i 1

i 1
n

 yi  m xi  nc
n

n

 xi yi  m xi2  c xi
i 1

i 1

i 1

1.2 เมื่อ y เป็ นตัวแปรอิสระ และ x เป็ นตัวแปรตาม มีสมการทัวไปคือ
่
ˆ
X  my  c

เมื่อ m, c เป็ นค่าคงตัว หาค่า m, c ได้จากสมการปกติ ดังนี้
n

n

i 1

i 1
n

 xi  m yi  nc
n

n

 xi yi  m yi2  c yi
i 1

i 1

i 1

เป็ นข้อมูลที่มีความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชนเป็ นพาราโบลา
ั
่

2. xi , y i

ˆ
Y  ax 2  bx  c

เมื่อ a, b, c เป็ นค่าคงตัว หาค่า a, b, c ได้จากสมการปกติ ดังนี้
n

n

n

i 1

i 1
n

i 1
n

 yi  a xi2  b xi  nc
n

n

 xi yi  a xi3  b xi2  c xi
i 1

i 1

i 1

i 1

เรี ยบเรี ยงและจัดทาโดยนางสาวศิริกญญา กิตติวุฒิ โรงเรี ยนสุราษฎร์พิทยา
ั

2

ั
n

x
i 1

n

2
i

n

n

i 1

i 1

i 1

y i  a xi4  b xi3  c xi2

่
2
ˆ
X  ay  by  c

เมื่อ a, b, c เป็ นค่าคงตัว หาค่า a, b, c ได้จากสมการปกติ ดังนี้
n

n

n

i 1

i 1
n

i 1
n

 xi  a yi2  b yi  nc
n

x y
i

i 1
n

x y
i

i 1

n

i

 a y i3  b y i2  c y i

2
i

 a y i4  b y i3  c y i2

i 1
n

i 1
n

i 1
n

i 1

i 1

i 1

เป็ นข้อมูลที่มีความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชนเป็ นเอกซ์โพเนนเชียล
ั
่
ˆ
Y  ab x หรื อ log y  log a  (log b) x
เมื่อ log a, log b เป็ นค่าคงตัว หาค่า log a, log b ได้จากสมการปกติ ดังนี้

3. xi , y i

n

n

 log yi  n log a  (log b) xi
i 1

i 1

n

n

n

i 1

i 1

i 1

 xi log yi  (log a) xi  (log b) xi2
่

หรื อ log x  log a  (log b) y
เมื่อ log a, log b เป็ นค่าคงตัว หาค่า log a, log b ได้จากสมการปกติ ดังนี้
ˆ
X  ab y
n

n

 log xi  n log a  (log b) y i
i 1

i 1

n

n

n

i 1

i 1

i 1

 yi log xi  (log a) yi  (log b) yi2
**ความสั มพันธ์ เชิงฟังก์ ชันระหว่างข้ อมูลในรูปอนุกรมเวลา**
ข้อมูลที่อยูในรู ปอนุกรมเวลา หมายถึง ข้อมูลที่แสดงความเปลี่ยนแปลงตามลาดับก่อนหลังของ
่
ช่วงเวลาที่ขอมูลนั้น ๆ เกิดขึ้น โดยปกติแล้ว ข้อมูลนั้นๆ จะเกิดขึ้นในช่วงเวลาที่เท่า ๆ กัน เช่น
้
ปริ มาณน้ าฝนนที่วดได้ในแต่ละเดือน
ั
กาไรจากการทาธุรกิจอย่างหนึ่งในแต่ละปี
ฯลฯ
ั

3

ั
ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชนระหว่างข้อมูลที่น่าสนใจ (y) กับช่วงเวลาที่ขอมูลนั้นเกิด (x)
ั
้
เมื่อ x คือตัวแปรอิสระ และ y เป็ นตัวแปรตาม เขียนความสัมพันธ์ได้เป็ น y = f(x)
***ค่า x ในช่วงเวลาที่เท่ากัน อาจเป็ นวัน เดือน หรื อปี
1. ถ้าช่วงเวลาที่นามาสร้างความสัมพันธ์เป็ นจานวนคี่ จะกาหนดช่วงตรงกลางเป็ น 0

เช่น …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …
2. ถ้าช่วงเวลาที่นามาสร้างความสัมพันธ์เป็ นจานวนคู่ จะกาหนดช่วงตรงกลาง
เป็ น -1 กับ 1
เช่น …, -5, -3, -1, 1, 3, 5, …

ั

4

ั

แบบฝึ กหัด
1. กาหนดคู่อนดับ (x, y) ต่อไปนี้
ั

xi

0

1

2

3

4

5

yi

5

4

3

2

1

0

1.1 จงเขียนแผนภาพการกระจายของข้อมูล

1.2

จงเติมตารางให้สมบูรณ์

xi

6

x
i 1

i



yi

6

y
i 1

i



x i2

xi y i

6

x y
i 1

i

i



6

x
i 1

2
i



y i2

6

y
i 1

2
i



1.3 จงหาสมการทัวไปของความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชนที่มี y เป็ นตัวแปรตาม
ั
่
……………………………………………………………………………………………..……
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..

ั

5

ั
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
1.4 ถ้าค่า x = 4 แล้วค่า y = …………………………………………………………….
1.5 จงหาสมการทัวไปของความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชนที่มี x เป็ นตัวแปรตาม
ั
่
………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………….
1.5 ถ้าค่า y = 2 แล้วค่า x = …………………………………………………………….

ั

6

ั
ั
1
xi

2

3

4

5

3

7

14

20

18

yi

2.1 จงเขียนแผนภาพการกระจายของข้อมูล เมื่อ x เป็ นตัวแปรอิสระ

2.2 จงเติมตารางให้สมบูรณ์

xi

5

x
i 1

i



x i2

yi

5

y
i 1

i



5

x
i 1

2
i



x i3

5

x
i 1

3
i



x i4

5

x
i 1

4
i



x i2 y i

xi y i

5

x y
i 1

i

i



5

x
i 1

2
i

yi 

2.3 จงหาสมการทัวไปของความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชน
ั
่
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..

ั

7

ั
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
2.4 ถ้าค่า x = 10 แล้วค่า y =
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
ั
1
xi

2

3

4

5

6

15

38

68

105

yi

3.1 จงเขียนแผนภาพการกระจายของข้อมูล เมื่อ x เป็ นตัวแปรอิสระ

ั

8

ั
3.2 จงเติมตารางให้สมบูรณ์
log y i

xi

5

 xi 
i 1

5

 log y i 
i 1

x i2

xi log y i

5

 xi log yi 
i 1

5

x
i 1

2
i



3.3 จงหาสมการทัวไปของความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชน
ั
่
………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………….
3.4 ถ้าค่า x = 20 แล้วค่า y =
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………

ั

9

ั
4. ข้อมูลที่กาหนดให้แสดงรายจ่ายประจาเดือนของพอใจ ตั้งแต่เดือนมกราคม ถึงเดือนกรกฎาคม

ดังตารางข้างล่าง
เดือน
ม.ค. ก.พ. มี.ค. เม.ย. พ.ค. มิ.ย. ก.ค.
รายจ่าย (พันบาท) 5 5.5 6.5 7 8.5 10 11
ถ้า x แทนระยะเวลาเป็ นเดือน
y แทนรายจ่ายประจาเดือน
4.1จงเติมตารางให้สมบูรณ์

x
y

5

5.5

6.5

7

8.5

10

11

4.2 จงเขียนแผนภาพการกระจายของข้อมูล

4.3 จงหาสมการความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชนระหว่างเวลากับรายจ่าย
ั
………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………….

ั

10

ั
4.4 ในเดือนธันวาคมปี เดียวกัน พอใจจะมีรายจ่ายเท่าไร
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………

ั

�ݺ�ߣ

ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชัน ม.6

More Related Content

ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชัน ม.6