![～ P1
d=1 X= P = [?1, 1]
?1
s c +1
s
d = 2 X ～ P2 , F1 , S7 , S6 , P1 × P1
=
S: トーリック?デルペッツォ曲面
if ?φ : S → S: 一点爆発 (blow-up)
=? S: デルペッツォ曲面](https://image.slidesharecdn.com/120919kyushu-120920204205-phpapp01/85/120919-kyushu-11-320.jpg)
![d = 4 Batyrev (1999), 佐藤 (2000)
分類法
トーリック森理論
∑n
森コーン NE(X) = i=1 R≥0 [Ci ]
Ri = R≥0 [Ci ]: 端射線 Ci : extremal curve
φRi : X → Y : 端射収縮写像
?? Ci をつぶす](https://image.slidesharecdn.com/120919kyushu-120920204205-phpapp01/85/120919-kyushu-15-320.jpg)
120919 kyushu
- 1. 2012 年 9 月 19, 20 日 ファノ多面体の分類理論 岐阜聖徳学園大学 経済情報学部 佐藤 拓 九州大学マス?フォア?インダストリ研究所短期共同研究「学習理論における組合せ理論」
- 2. 1 目次 今日 ? トーリック?ファノ多様体 ? ファノ多面体 ? 低次元 (≤ 4) の分類 ? トーリック森理論
- 3. 明日 ? 高次元 (≥ 5) の分類 ? ?bro のアルゴリズム SFP ? 2 次元で SFP 実演
- 4. 2 ファノ多様体 X: コンパクト複素多様体 X: ファノ ? ?KX = c1 (X): ample (正) # {d 次元ファノ多様体の変形類 } < +∞ d = 2: デルペッツォ曲面 P2 の n 点爆発 (n ≤ 8) or P1 × P1 d = 3: Iskovskih (1978), Mori-Mukai (1981)
- 5. Minimal Model Program input output X : 代数多様体 → MMP → (1) 極小モデル (2) 森ファイバー空間 φ:X→Y d = dim X > dim Y φ?1 (p): ファノ多様体 (p ∈ Y )
- 6. 3 トーリック多様体 × d T := (C ) : 代数的トーラス T ? X (open dense): トーリック多様体 トーリック多様体 ? 扇 (多面体) 扇 (in R ? Z ) が X T のデータを持っている d d
- 7. r r r r r r r r r r r r r r pt. r r r r r r r u u rrC× r r r e r r r e rr e (C× )2@@ u @ r r r r r r r r eu @@ @ r r r r r r r r r r r r r r 扇 ←→ トーリック多様体
- 8. 4 ファノ多面体 トーリック?ファノ多様体 ? ファノ多面体 P ? Rd ? Zd : 凸多面体 (頂点集合 ? Zd ) P : ファノ多面体 ?? ? 1. P ∩ Z = {0} d 2. 任意の facet F ? P に対して, F の頂点集合は Zd の基底をなす
- 9. r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r?b r ? r r r r ??? r r ?b r r? ?? ? r r r? r ?r r r r r ???r r r r r? r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r ファノ多面体 例 not Fano conv{e1 , . . . , ed , ?(e1 + · · · + ed )}: d 次元単体 d 次元ファノ多面体 ? d 次元射影空間 Pd
- 10. 5 (低次元) ファノ多面体の分類 # {d 次元トーリック?ファノ多様体 } / ～< +∞ = ?? # {d 次元ファノ多面体 } /GLd (C) < +∞ d 1 2 3 4 # ファノ多面体 1 5 18 124
- 11. ～ P1 d=1 X= P = [?1, 1] ?1 s c +1 s d = 2 X ～ P2 , F1 , S7 , S6 , P1 × P1 = S: トーリック?デルペッツォ曲面 if ?φ : S → S: 一点爆発 (blow-up) =? S: デルペッツォ曲面
- 12. blow-up (一般) F : face {v1 , . . . , vm }: 頂点集合 ′ P : v := v1 + · · · + vm を付け加えて星状細分 φ : X ′ → X: blow-up 1. X は一般のトーリックで良い 2. X ′ はファノとは限らない ¨ rv2 ¨ r tv := v1 + v2 ¨ d ¨ F ← d P b drv1 b r P′
- 13. s s ?d ?d ? c ds ← ? c ds s ?¨¨ ¨ ¨ ¨ s ¨ ? s ¨ ¨ P2 F1 ↑ s s s s ?d ?d ? ? c ds ← s ? c ds ← s ? c s s d ? ? ? ds 1 ? s ? s s ? s P × P1 S7 S6
- 14. d = 3 Batyrev (1982), 渡辺?渡辺 (1982) 分類法 ピカール数 (=頂点の数 ? 次元) ≤ 5 =? 小田?三宅の分类表をチェック 小田?三宅 (1978) 射影的トーリック多様体の分類 for d = 3 and ピカール数 ≤ 5
- 15. d = 4 Batyrev (1999), 佐藤 (2000) 分類法 トーリック森理論 ∑n 森コーン NE(X) = i=1 R≥0 [Ci ] Ri = R≥0 [Ci ]: 端射線 Ci : extremal curve φRi : X → Y : 端射収縮写像 ?? Ci をつぶす
- 16. 高次元のファノ多面体 (扇) を表示する方法: Primitive relation S ? {P の頂点 }: Primitive collection ?? 1. S 自身は面の頂点集合ではない 2. S の真部分集合はある面の頂点集合である minimal non-face
- 17. S = {x1 , . . . , xm }: primitive collection ? ?! x1 + · · · + xm = a1 y1 + · · · + an yn a1 , . . . , an > 0 {y1 , . . . , yn }: ある面の頂点集合 ? primitive relation 全体 → ファノ多面体 (扇) ? extremal ray → primitive relation 森理論と相性が良い
- 18. v3 v2 s s ? v4 ? c s sv1 ? s ? s v5 v6 S6 の primitive relations: v1 + v3 = v2 , v1 + v4 = 0, v1 + v5 = v6 , v2 + v4 = v3 , v2 + v5 = 0, v2 + v6 = v1 , v3 + v5 = v4 , v3 + v6 = 0, v4 + v6 = v5
- 19. 例 (V 4 : 4 次元トーリック?ファノ多様体) {e1 , e2 , e3 , e4 } 標準基底 for Z4 P の頂点集合 (10 頂点) {x0 := e1 , x1 := e2 , x2 := e3 , x3 := e4 , x4 := ?e1 , x5 := ?e2 , x6 := ?e3 , x7 := ?e4 , x8 := (e1 + e2 + e3 + e4 ), x9 := ?(e1 + e2 + e3 + e4 )} P := conv{x0 , . . . , x9 }
- 20. P の primitive relations (25 個): x0 + x4 = 0, x1 + x5 = 0, x2 + x6 = 0, x3 + x7 = 0, x8 + x9 = 0, x0 + x1 + x2 = x7 + x8 , x0 + x1 + x3 = x6 + x8 , x0 + x2 + x3 = x5 + x8 , x1 + x2 + x3 = x4 + x8 , x0 + x1 + x9 = x6 + x7 , x0 + x2 + x9 = x5 + x7 , x0 + x3 + x9 = x5 + x6 , x1 + x2 + x9 = x4 + x7 , x1 + x3 + x9 = x4 + x6 , x2 + x3 + x9 = x4 + x5 , x4 + x5 + x6 = x3 + x9 , x4 + x5 + x7 = x2 + x9 , x4 + x6 + x7 = x1 + x9 , x5 + x6 + x7 = x0 + x9 , x4 + x5 + x8 = x2 + x3 , x4 + x6 + x8 = x1 + x3 ,
- 21. x4 + x7 + x8 = x1 + x2 , x5 + x6 + x8 = x0 + x3 , x5 + x7 + x8 = x0 + x2 , x6 + x7 + x8 = x0 + x1 後半 20 個は V 4 の extremal ray に対応 NE(V 4 ) 森コーン: 20 本の extremal ray を持つコーン ? R6 ?φR : V 4 → X: 端射収縮写像 =? ?ipping contraction
- 22. V 4 , V 4 以外の 4 次元トーリック?ファノ多様体 ↓ トーリック?ファノ多様体のみを経由する blow-up (爆発) or blow-down (爆発の逆) ↓ P4 : 4 次元射影空間 ?2 次元, 3 次元でも同様の手法で分類可 ?5 次元以上では不成立 ? d = 4 高スペック PC で一週間 (1998)
- 23. 目次 ? 高次元 (≥ 5) ファノ多面体の分類 ? ?bro のアルゴリズム SFP ? 2 次元で SFP 実演
- 24. 6 (高次元) ファノ多面体の分類 d = 5 Kreuzer-Nill (2007) 分類法 各頂点 p ∈ P に沿った射影を考える ? 4-dim. re?exive polytope (反射的多面体) ? 4 次元ゴーレンシュタイン?トーリック?ファノ 多様体 (特異点を持った多様体) これらから P を回復する
- 25. Kreuzer-Skarke ? 4,319 3-dim. re?exive polytopes ? 473,800,776 4-dim. re?exive polytopes 分类表 d 1 2 3 4 5 年 1982 2000 2007 # ファノ多面体 1 5 18 124 866
- 26. 7 アルゴリズム SFP d ≥ 6 ?bro (2007) ? arXiv:0704.0049 ? http://data.imf.au.dk/publications/phd /2008/imf-phd-2008-moe.pdf (Ph.D thesis, ? C++ code) SFP : Smooth Fano Polytope
- 27. input d: 正の整数 (次元) ↓ SFP ↓ output 全ての d 次元ファノ多面体 (同型なものが重複して出力されることはない) ? ファノ多面体の分類理論の完成
- 28. 分类表 d 1 2 3 4 # ファノ多面体 1 5 18 124 d 5 6 7 8 ··· # 866 7, 622 72, 256 749, 892 ··· ? d=7 平均的な PC で一日以内 (2007) ? d=8 fast PC で二週間 (2007)
- 29. 8 special facet and embedding P : ファノ多面体 {v1 , . . . , vm }: P の頂点集合 F ? P : special facet ?? v1 + · · · + vm ∈ F (の生成するコーン) {w1 , . . . , wd }: F の頂点集合 v1 + · · · + vm = a1 w1 + · · · + ad wd (a1 , . . . , ad ≥ 0)
- 30. ※ special facet は唯一とは限らない s s ?d ?d ? c ¨s d ? c ds s ¨ ?¨¨ ¨¨ s ¨ ? s ¨ s s s s ?d ?d ? ? c ds s ? c ds s ? c s s d ? ? ? ds ? s ? s s s ?
- 31. uF ∈ (Rd )? : F を定める元 F = {?uF , ?? = 1} {uF , . . . , uF }: 双対基底 for {w1 , . . . , wd } w1 wd 定理 F : special facet =? for ?v ∈ P 頂点, ?d ≤ ?uF , v? ≤ 1 and ?uF , v? = 1 ? 0 ≤ ?uF , v? ≤ 1 wi ?uF , v? = 0 ? ? 1 ≤ ?uF , v? ≤ d ? 1 wi ?uF , v? < 0 ? ?uF , v? ≤ ?uF , v? ≤ d + ?uF , v? wi for ?i
- 32. {w1 , . . . , wd } が標準基底になるようにする P : ファノ多面体 =? ?Q ～ P s.t. = conv{e1 , . . . , ed }: special facet for Q Q: special embedding of P
- 33. 例 s s ?d ?d d ? c ¨s ? c ds s ¨ ?¨¨ ¨¨ ¨ ? s ¨ s s.e. not! s s s s ?d ?d ? ? c ds s ? c ds s ? c s s d ? ? ? ds? s s ? s ? s s.e. not! not!
- 34. special embedding s s ?d ?d ? c ds ¨ ? c ds s rr ?¨¨ r s ¨ ? rs s s s s s ?d e d d ? c ds s e c ds s c ds d ? e d ds ? es s ds s
- 35. Wd ? Zd primitive lattice point からのみなる集合 v = (a1 , . . . , ad ) ∈ Wd ? ?d ≤ a := a1 + · · · + ad ≤ 1 and a=1? 0 ≤ ai ≤ 1 a = 0 ? ? 1 ≤ ai ≤ d ? 1 a<0? a ≤ ai ≤ d + a for ?i
- 36. 定理’ P : ファノ多面体, Q: special embedding ? {Q の頂点集合 } ? Wd ? Wd は有限集合 ? 全ての d 次元ファノ多面体 (の special embedding) は Wd 内に生息している!! ? ファノ多面体の分類完成と言って良い
- 37. 例: W2 ? v = (a1 , a2 ) a := a1 + a2 a = 1 (0 ≤ ai ≤ 1), a = 0 (?1 ≤ ai ≤ 1), a = ?1 (?1 ≤ ai ≤ 1), a = ?2 (?2 ≤ ai ≤ 0) s s s s c s s s s #W2 = 7 s
- 38. special embedding s s s s ?d ?d s ? c ds¨ ? c ds s rr ?¨¨ r s ¨ s ? s s s rs s s s s s s ?d e d d ? c ds s s e c ds s c ds d ? e d s ds ? s s es s s ds s
- 39. 9 全順序 for ファノ多面体 全順序 for Zd x = (x1 , . . . , xd ), y = (y1 , . . . , yd ) ∈ Z d x ? y ?? (?(x1 + · · · + xd ), x1 , . . . , xd ) ≤lex (?(y1 + · · · + yd ), y1 , . . . , yd )
- 40. 例: W2 s3 s1 s 5 c s2 s 7 s6 s4
- 41. 全順序 for 有限集合 of Zd X, Y ? Z : 有限部分集合 d X ? Y ?? 以下のいずれかが成立 1. X = ? 2. X, Y ?= ? and min X ? min Y 3. X, Y ?= ? and min X = min Y and X {min X} ? Y {min Y }
- 42. 全順序 for ファノ多面体 P : ファノ多面体 ord(P ) := min{Q の頂点集合 | Q : special embedding} P1 , P2 : ファノ多面体 P1 ≤ P2 ?? ord(P1 ) ? ord(P2 )
- 43. SFP 1. d ∈ Z>0 : input =? {e1 , . . . , ed } からスタート 2. Wd の部分集合を順番に検証する 3. ファノ多面体 (の special embedding) になっ た場合, 変換 (基底の置換) によってもっと小 さくならないかチェック 4. 小さくならない場合 =? output 有限回で終了
- 44. ? 全てのファノ多面体が順番に output される ? ファノ多面体 P の ord(P ) が output される ? output されたデータを参照しない! 2 次元で実演 {(1, 0), (0, 1)} からスタート r3 r1 r5 b r2 W2 r7 r6 r4
- 45. ? s s s s s c s c s c s s s s S7 s s S6 s s d d s rrc ds s c ds s c s rrs d ds s s s s
- 46. ? s s s s s s s c s c s c s s s s s s s s s s s F1 s s e d s c s e c ds c s e ? es ? s s
- 47. ? s s s s c s c s s c s s s s P1 × P1 s s ?d ? c ds s s c s c s d ? d? s s s s
- 48. ? s P2 ?d ? c ¨s d ?¨¨ s ¨ ? S7 < S 6 < F 1 < P × P < P 1 1 2 終