狠狠撸

2007.05.22 期待値と平均を追加
2007.05.22 中心極限定理グラフ追加
2008.06.24 グラフ追加
2012.06.12 条件付き確率の値修正
2012.07.09 一様分布の期待値追加

条件付確率?独立性
期待値と分散
中心極限定理

条件付確率 (conditional prob.)

事象 A が起きたという条件の下で
事象 B が起きる確率を考える B
Pr( A ∩ B )
Pr( B | A) =
Pr( A)
A
例　女性で身長が１７０ｃｍ以上
Pr(身長 ≥ 170.0 　かつ　女性)
Pr(身長 ≥ 170.0 | 女性) =
Pr(女性)
0.003976
　　　　　　　　　　 = = 0.0082
0.485

独立事象

条件付確率が条件に無関係のとき
2 つの事象は独立という
Pr( B | A) = Pr( B )
Pr( A ∩ B )
Pr( B | A) = = Pr( B )
Pr( A)
Pr( A ∩ B ) = Pr( A) Pr( B )

確率変数の独立性

2 つの確率変数 X, Y が独立
分布関数
H ( x, y ) = Pr( X < x, Y < y )
　　　　 Pr( X < x) Pr(Y < y )
=
　　　　 F ( x)G ( y )
=

密度関数
h ( x, y ) = f ( x ) g ( y )

期待値 (Expectation)

データの平均（代表値、どんな値）
data : x1 , x2 ,? , xn
x1 + x2 + ? + xn
mean : x =
n
確率変数（分布）の期待値（どんな値）
取り得る値 : a1 , a2 ,? , ak
各値の確率 : p1 , p2 ,? , pk

平均 : E ( X ) = a1 p1 + a2 p2 + ? + ak pk

確率分布　　　　度数分布表

値確率階級階級値相対度数

a1 p1 a0~a1 m1 f1
a2 p2 a1~a2 m2 f2

ak pk ak-1~ak mk fk
合計 1.00 合計 1.00
E ( X ) = a1 p1 + a2 p2 + ? + ak pk
　　x = m1 f1 + m2 f 2 + ? + mk f k

確率分布　　度数分布表（離散
型）
値確率データ度数相対度数
a1 p1 x1 f1 f'1
a2 p2 x2 f2 f'2

ak pk xk fk f'k
合計 1.00 合計 n 1.00
　　x = ( x1 f1 + x2 f 2 + ? + xk f k ) / n
f1 f f
　　　 x1
= + x2 2 + ? + xk k
n n n
　　　 x1 f1' + x2 f 2' + ? + xk f k'
=
E ( X ) = a1 p1 + a2 p2 + ? + ak pk

度数分布表（連続型データ）
階級階級値度数相対度数
a0~a1 m1 f1 f'1
データ度数相対度数

a1~a2 m2 f2 f'2 x1 f1 f'1

x2 f2 f'2

ak-1~ak mk fk f'k
xk fk f'k

合計 n 1.00

合計 n 1.00 　　x = ( x1 f1 + x2 f 2 + ? + xk f k ) / n
f1 f f
　　　 x1
= + x2 2 + ? + x k k
　　x = (m1 f1 + m2 f 2 + ? + mk f k ) / n n n n
　　　 x1 f1' + x2 f 2' + ? + xk f k'
=
f1 f f E ( X ) = a1 p1 + a2 p2 + ? + ak pk
　　　 m1
= + m2 2 + ? + mk k
n n n
　　　 m1 f1' + m2 f 2' + ? + mk f k'
=
E ( X ) = a1 p1 + a2 p2 + ? + ak pk

連続型分布の期待値
小区間中点確率近似確率
a0~a1 m1 p1 p'1
a1~a2 m2 p2 p'2

ak-1~ak mk pk p'k
合計 1.00

小区間[ai ?1 , ai ]の間の値を取る確率 a0 a1 a2 ai?1 ai ak
ai
pi = ∫ f ( x) dx E( X )
ai?1
= lim{m1 p '1 + m2 p '2 + ? + mk p 'k }
　　 f (mi )(ai ? ai ?1 ) = p 'i
≈ k →∞

= 小長方形の面積 = lim{m1 f (m1 )(a1 ? a0 ) + m2 f (m2 )(a2 ? a2 ) + ? + mk f (mk )(ak ? ak ?1 )}
k →∞
k
= lim ∑ mi f ( mi )(ai ? ai ?1 )
k →∞ i =1
b
→ ∫ xf ( x)dx
a

期待値
X　　　確率変数
f ( x) 　　Xの密度関数

Xの期待値(平均) 離散型の場合は
∞ 積分の代わりに
　　E ( X ) = ∫ x f ( x)dx　和 (Σ) を使う
?∞
∞
　　E (? ( X )) = ∫ ? ( x) f ( x)dx
?∞

Xの分散：? ( x) = {x ? E ( X )}2 の期待値
　　V ( X ) = E ( X ? E ( X )) 2 　　　? ( x) = {x ? E ( X )}2
∞
　　　　　 ∫ {x ? E ( X )}2 f ( x)dx
=
?∞

　　　　　 E ( X 2 ) ? {E ( X )}2
=

次の宝くじの期待金額を求めよ
う

等x 確率当選金 Xの期待値
φ(x)
E( X )
１ 1/1000 10,000
２
1 1 1 889
1/100 5,000 = 1× + 2× + 3× + 4 ×
1000 100 10 1000
３ 1/10 100
1 2 3 889
4 889/1000 0 = + + + 4×
1000 100 10 1000
3877
= = 3.877
1000

期待金額　　? ( X )の期待値
E (? ( X ))
1 1 1 889
= ? (1) × + ? ( 2) × + ? (3) × + ? (4) ×
1000 100 10 1000
1 1 1 889
= 10,000 × + 5,000 × + 100 × + 0 ×
1000 100 10 1000
　　　　　＝10 + 50 + 10 + 0 = 70

期待値と分散
X　　　確率変数
f ( x) 　　Xの密度関数

Xの期待値(平均) 離散型の場合は
∞ 積分の代わりに
　　E ( X ) = ∫ x f ( x)dx　和 (Σ) を使う
?∞
∞
　　E (? ( X )) = ∫ ? ( x) f ( x)dx
?∞

Xの分散：? ( x) = {x ? E ( X )}2 の期待値
　　V ( X ) = E ( X ? E ( X )) 2 　　　? ( x) = {x ? E ( X )}2
∞
　　　　　 ∫ {x ? E ( X )}2 f ( x)dx
=
?∞

　　　　　 E ( X 2 ) ? {E ( X )}2
=

二項分布の期待値
X ~ Bi (n, p)
n n
E ( X ) = ∑ x p x = ∑ x n C x p x (1 ? p) n ? x
x =0 x =0
n
n!
　　　 ∑ x
= p x (1 ? p ) n ? x
x =0 x!(n ? x)!
n
n!
　　　 ∑
= p x (1 ? p) n ? x
x =1 ( x ? 1)!( n ? x )!
n
n(n ? 1)!
　　　 ∑
= pp ( x ?1) (1 ? p) ( n ?1) ?( x ?1)
x =1 ( x ? 1)!( n ? 1 ? ( x ? 1))!
n ?1
(n ? 1)!
　　　 n p ∑
= p y (1 ? p) ( n ?1) ? y
y =0 y!(n ? 1 ? y )!
　　　 n p
=

一様分布の期待値
区間 [0, 1] の一様分布密度関数 f(x)
E( X ) ?1 0 ≤ x ≤ 1
∞ f ( x) = ?
= ∫ xf ( x)dx
?∞
?0 その他
0 1 ∞
= ∫ xf ( x)dx + ∫ xf ( x)dx + ∫ xf ( x)dx
?∞ 0 1
0 1 ∞
= ∫ x × 0dx + ∫ x ×1dx + ∫ x × 0dx
?∞ 0 1
1
= 0 + ∫ x ×1dx + 0
0
1
1
? x2 ? 1
= ∫ xdx = ? ? =
0 ? 2 ? x =0 2

主な分布の期待と分散
X ~ Bi (n, p )
　　E ( X ) = np, 　　V ( X ) = npq
X ~ Po(λ )
　　E ( X ) = λ , 　　V ( X ) = λ
X ~ U ( a, b)
　　E ( X ) = (a + b) / 2, 　　V ( X ) = (b ? a ) / 12
2

X ~ N (? ,σ ) 2

　　E ( X ) = ? , 　　　V ( X ) = σ 2

期待値と分散の性質
E (aX + b) = aE ( X ) + b
　　 ∫ (ax + b) f ( x)dx = a ∫ xf ( x)dx + b ∫ f ( x)dx
?
　　　　　　　　　 aE ( x) 　　　b
= +
V (aX + b) = a 2V ( X )
　　 ∫ {( ax + b) ? E (aX + b)}2 f ( x)dx
?

　　 ∫ {a ( x ? E ( X )}2 f ( x)dx = a 2 ∫ ( x ? E ( X )) 2 f ( x)dx
=
　　 a 2V ( X )
=

E ( X + Y ) = E ( X ) + E (Y )
X ⊥ Y ? V ( X + Y ) = V ( X ) + V (Y )

独立、同一分布に従う和の分布
X 1 , X 2 ,?, X n 　　　iid
E( X i ) = ?, V ( X i ) = σ 2
1 n
? X = ∑ X i 　　の期待値と分散
n i =1
1 n 1 n 1 n
　　E ( X ) = E ( ∑ X i ) = ∑ E ( X i ) = ∑ ? =?
n i =1 n i =1 n i =1
1 n 1 2 n 1 2 n 2 σ2
　　V ( X ) = V ( ∑ X i ) = ( ) ∑ V ( X i ) = ( ) ∑ σ =
n i =1 n i =1 n i =1 n

正規分布の再生成

X ~ N ( ?1 , σ )
2
1

Y ~ N ( ? 2 , σ ), X ⊥ Y
2
2

=>
Z = aX + bY ~ N (a?1 + b? 2 , a σ + b σ )
2 2
1
2 2
2

X 1 , X 2 ,?, X n ~ N ( ? , σ )
2

n
1
X = ∑ X i ~ N ( ? , σ / n)
2

n i =1

X ??
Z= ~ N (0,1)
σ /n
2

中心極限定理
Central Limit Theorem

X1, X2, ..., Xn は同じ分布 F(x) に従い独立
　　 E(X)=μ 　　　　　平均存在
　　 Var(X)=σ2 　　　分散存在

　　　 =ΣXi/n の分布は n->∞ のとき　
X
　　　　　
N(μ,σ2/n) に収束

実用的には n≧25

一様分布の場合
X が区間 [0, 1] の一様分布
　 E(X)=1/2, Var(X)=1/12
n=2 n=3

X i ~ 　U [0,1]
Z = X 1　のpdf　
1 0 < x <1
　　　u1 ( x) = {
0 その他

Z = X 1 + X 2 　のpdf

{
z 0 < z <1
　　　　u2 ( x) = 2? z 1< z < 2
0 その他

Z = X 1 + X 2 + X 3 　のpdf
z2 0 < z <1

　　　　　u3 ( x) = { ? z 2 + 3z ? 3 / 2 1 < z < 2
( z ? 3) 2 / 2 2< z<3
0 その他

n= 1 n= 2 n= 3 n= 4 n= 5

0.4

0.4
Density

Density

Density

Density

Density
0.20

0.2
0.2

0.2

0.2
0.00

0.0

0.0

0.0

0.0
-2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1 2 -3 -1 0 1 2 3 -3 -1 0 1 2 3 -3 -1 0 1 2 3

matrix(runif(1000 * i), nrow = i), (apply(matrix(runif(1000 * i), nrow = i),(apply(matrix(runif(1000 * i), nrow = i), (apply(matrix(runif(1000 * i), nrow = i), (apply(matrix(runif(1000 * i), nrow = i), 2, mean) - 0.5
2, mean) - 0.5) * sqrt(12 i) 2, mean) - 0.5) * sqrt(12 * i) 2, mean) - 0.5) * sqrt(12 i) 2, mean) - 0.5) * sqrt(12 i)

n= 6 n= 7 n= 8 n= 9 n= 10
0.4

0.4
Density

Density

Density

Density

Density
0.20
0.00 0.20

0.2
0.2

0.2
0.00
0.0

0.0

0.0
-3 -1 0 1 2 3 -3 -1 0 1 2 3 -3 -1 0 1 2 3 -3 -1 0 1 2 3 -3 -1 1 2 3


n= 11 n= 12 n= 13 n= 14 n= 15

0.4
0.4

0.4
0.4
Density

Density

Density

Density

Density
0.2

0.2
0.2

0.2
0.2
0.0

0.0

0.0

0.0

0.0
-3 -1 0 1 2 -4 -2 0 1 2 3 -2 0 2 4 -3 -1 1 2 3 -2 0 1 2 3


n= 16 n= 17 n= 18 n= 19 n= 20

0.4

0.4
0.4
0.2 0.4
Density

Density

Density

Density

Density
0.2

0.2

0.2
0.2
0.0

0.0

0.0

0.0

0.0
-4 -2 0 1 2 3 -3 -1 0 1 2 3 -3 -1 1 2 3 -3 -1 1 2 3 -3 -1 0 1 2 3


Density Density

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.0 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

-4

-4
-2

-2
0

0
N=1

N=3

scale(data)

scale(data)
2

2
4

4
Density Density

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.0 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

-4
-4

-2
-2

0
0
N=4
N=2

scale(data)
scale(data)

2
2

4
4

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