สื่อวิชาคณิตศาสตร์Gp1 ค31103 เรื่องทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น ครูขวัญแก้ว มีเหมือน ภาค1ปี59
1 like145 views
แบบฝึกสริมทักษะทางคณิตศาสตร์
More Related Content
What's hot (19)
Viewers also liked (18)
Similar to สื่อวิชาคณิตศาสตร์Gp1 ค31103 เรื่องทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น ครูขวัญแก้ว มีเหมือน ภาค1ปี59 (17)
สื่อวิชาคณิตศาสตร์Gp1 ค31103 เรื่องทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น ครูขวัญแก้ว มีเหมือน ภาค1ปี59
- 1. แบบฝึกเสริมทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น (ชุด 1 การหารลงตัว) รายวิชาคณิตศาสตร์ GP1 ภาคเรียนที่ 1 ปีการศึกษา 2559
- 2. นางขวัญแก้ว มีเหมือน ผลการเรียนรู้ นักเรียนเข้าใจสมบัติของจานวนเต็ม และนาไปใช้ในการให้ เหตุผล กี่ยวกับการหารลงตัวไึϹ
- 3. 1.1 การหารลงตัว (Exact Division) บทนิยาม ให้ a และ b เป็นจานวนเต็ม โดยที่ b ไม่เท่ากับ 0 b หาร a ลงตัว ก็ต่อเมื่อ มีจานวนเต็ม c ที่ทาให้ a = bc เรียก b ว่าเป็น ตัวหาร(divisor) ของ a และเรียก a เป็น พหุคูณ (multiple) ของ b ใช้สัญลักษณ์ b/a แทน “b หาร a ลงตัว
- 4. จงแสดงว่า 3/12, -4/12, 9/54, 7/0, -11/-121, 5/-25, -3/0 3/12 เพราะ 12 = 3(4) -4/12 เพราะ 12 = -4(3) 9/54 เพราะ 54 = 9(6) 7/0 เพราะ 0 = 7(0) -11/-121 เพราะ -121 = -11(11) 5/-25 เพราะ -25 = 5(-5) -3/0 เพราะ 0 = -3(0)
- 5. ตัวอย่างที่ 2 จงแสดงว่า - 3/12, 4/-12, -9/54, - 7/0, 11/-121, 5/-25, 2/0 วิธีทา -3/12 เพราะ 12 = -3(-4) 4/-12 เพราะ -12 = 4(-3) -9/54 เพราะ 54 = -9(-6 ) -7/0 เพราะ 0 = - 7(0) 11/-121 เพราะ -121 = 11(-11) - -5/-25 เพราะ -25 = -5(5) 2/0 เพราะ 0 = 2(0)
- 6. แบบฝึกหัด 1.1 การหารลงตัว 1. จงแสดงว่า -6/12 , 8/-16 , 5/25 , -9/0 , 10/-100 , -25/-25 , -2/0 , 4/0 , -11/0 , -1/1 วิธีทา -6/12 เพราะ 12 = -6(……) 8/-16 เพราะ -16 = 8(……) 5/25 เพราะ 25 = 5(…… ) -9/0 เพราะ 0 = - 9(……) 10/-100 เพราะ -100 = 10(…..) -25/-25 เพราะ -25 = -25(……) -2/0 เพราะ 0 = -2(……) 4/0 เพราะ 0 = 4(……) -11/0 เพราะ 0 = -11(……) -1/1 เพราะ 1 = -1(……)
- 7. 2. จงแสดงว่า 12/0 , -8/-32 , -5/125 , -91/0 , 100/-1,000 , -125/-250 1) 12/0 เพราะ …………………….. 2) -8/-32 เพราะ …………………….. 3) -5/125 เพราะ …………………….. 4) -91/0 เพราะ …………………….. 5) 100/-1,000 เพราะ …………………….. 6) -125/-250 เพราะ ……………………..
- 8. 1.2 ทฤษฎีบทการหารลงตัว ทฤษฎีบท ให้ a, b และ c เป็นจานวนเต็ม โดยที่ a ไม่เท่ากับศูนย์ และ b ไม่เท่ากับศูนย์ถ้า a/b และ b/c แล้ว a/c พิสูจน์ สมมติ a/b และ b/c จะมีจานวนเต็ม x ที่ทาให้ b = ax และมีจานวนเต็ม y ที่ทาให้ c = by ดังนั้น c = (ax)y c = a(xy) และ xy เป็นจานวนเต็ม ดังนั้น a/c
- 9. ทฤษฎีบท 2 ให้ a และ b เป็นจานวนเต็มบวก ซึ่ง a/b แล้ว a ≤ b พิสูจน์ สมมติ a/b จะมีจานวนเต็ม x ที่ทาให้ b = ax เนื่องจาก a และ b เป็นจานวนเต็มบวก จะได้ x เป็นจานวน เต็มบวก จะได้ ax ≥ a (เพราะ a เป็นจานวนเต็มบวก) ดังนั้น b ≥ a เช่น 3/12 จะเห็นว่า 3≤12 3/3 จะเห็นว่า 3=3
- 10. ทฤษฎีบท 3 ให้ a, b และ c เป็นจานวนเต็ม โดยที่ a/b และ a/c แล้ว a/(bx + cy) เมื่อ x และ y เป็นจานวนเต็มใดๆ พิสูจน์ สมมติ a/b และ b/c จะมีจานวนเต็ม d ที่ทาให้ b = ad และมีจานวนเต็ม e ที่ทาให้ c = ae ดังนั้น bx + cy = (ad)x + (ae)y เมื่อ x และ y เป็นจานวนเต็ม bx + cy = a(dx + ey) เนื่องจาก dx + ey เป็นจานวนเต็ม จะได้ a/(bx + cy) นิพจน์ในรูป bx + cy เรียกว่า ผลรวมเชิงเส้น ของ b และ c
- 11. ตัวอย่าง 1 กาหนดให้ a, b, c, x และ y เป็นจานวนเต็ม จงแสดงว่า ถ้า a/b และ b/c แล้ว a/(b+c) พิสูจน์ สมมติ a/b และ b/c จะมีจานวนเต็ม x ที่ทาให้ b = ax และมีจานวนเต็ม y ที่ทาให้ c = by ดังนั้น b + c = ax + by เมื่อ x และ y เป็นจานวนเต็ม = ax + (ax)y เพราะ b = ax = a(x+xy) เนื่องจาก x + xy เป็นจานวนเต็ม จะได้ a/(b + c)
- 12. ตัวอย่าง 2 กาหนดให้ a, b, c, x และ y เป็นจานวนเต็ม จงแสดงว่า ถ้า a/b และ b/c แล้ว a/(b - c) พิสูจน์ สมมติ a/b และ b/c จะมีจานวนเต็ม x ที่ทาให้ b = ax และมีจานวนเต็ม y ที่ทาให้ c = by ดังนั้น b - c = ax - by เมื่อ x และ y เป็นจานวนเต็ม = ax - (ax)y เพราะ b = ax = a(x-xy) เนื่องจาก x - xy เป็นจานวนเต็ม จะได้ a/(b - c)
- 13. ตัวอย่าง 3 กาหนดให้ a, b, c, x และ y เป็นจานวนเต็ม จงแสดงว่า ถ้า a/(2x – 3y) และ a/(4x – 3y) แล้ว a/y พิสูจน์ สมมติ a/(2x – 3y) และ a/(4x – 3y) จะมีจานวนเต็ม n ที่ทาให้ 2x – 3y = an และมีจานวนเต็ม m ที่ทาให้ 4x – 3y = am ให้ 2x – 3y = an ……….(1) 4x – 3y = am ………..(2) (1)×2 จะได้สมการเป็น 4x – 6y = 2an ……….(3) (2)- (3) จะได้ 4x – 3y - 4x + 6y = am – 2an 3y = a(m-2n) y = 3 / a(m-2n) เนื่องจาก 3 / m-2n เป็นจานวนเต็ม จะได้ a/y
- 14. ตัวอย่าง 4 กาหนดให้ a, b, c, x และ y เป็นจานวนเต็ม จงแสดงว่า ถ้า a/(3x – 4y) และ a/(6x – 2y) แล้ว a/x พิสูจน์ สมมติ a/(3x – 4y) และ a/(6x – 2y) จะมีจานวนเต็ม n ที่ทาให้ 3x – 4y = an และมีจานวนเต็ม m ที่ทาให้ 6x – 2y = am ให้ 3x – 4y = an ……….(1) 6x – 2y = am ………..(2) (2)×2 จะได้สมการเป็น 12x – 4y = 2am ……….(3) (1)- (3) จะได้ 3x – 4y - 12x + 4y = an – 2am -9x = a(n-2m) x = -9 / a(n-2m) เนื่องจาก -9 / (n-2m) เป็นจานวนเต็ม จะได้ a/x
- 15. แบบฝึกหัด 1.2 ตอนที่ 1 คาชี้แจง จงเติมคาตอบในช่องว่างให้ถูกต้อง 1. กาหนดให้ a, b, c, x และ y เป็นจานวนเต็ม จงแสดงว่า ถ้า a/b และ a/c แล้ว a/(bc) พิสูจน์ สมมติ a/b และ a/c จะมีจานวนเต็ม x ที่ทาให้ b = ax และมีจานวนเต็ม y ที่ทาให้ c = (…..)y ดังนั้น bc = ax( ……. ) เมื่อ x และ y เป็นจานวนเต็ม = ax….. = a(xay) เนื่องจาก ............... เป็นจานวนเต็ม จะได้ a/(bc)
- 16. 2. กาหนดให้ a, b, c, x และ y เป็นจานวนเต็ม จงแสดงว่า ถ้า a/b และ a/c แล้ว a /(bc) พิสูจน์ สมมติ a/b และ a/c จะมีจานวนเต็ม x ที่ทาให้ b = ax และมีจานวนเต็ม y ที่ทาให้ c = (…..)y ดังนั้น bc = ax( ……. ) เมื่อ x และ y เป็นจานวนเต็ม = ax….. = a (xy) เนื่องจาก ............... เป็นจานวนเต็ม จะได้ a /(bc)
- 17. 3. กาหนดให้ a, b, c, x และ y เป็นจานวนเต็ม จงแสดงว่า ถ้า a/b และ b/c แล้ว a/(b - c) พิสูจน์ สมมติ a/b และ b/c จะมีจานวนเต็ม x ที่ทาให้ b = ax และมีจานวนเต็ม y ที่ทาให้ c = (…..)y ดังนั้น ………. = ax- by เมื่อ x และ y เป็นจานวนเต็ม = …………. = a(x - xy) เนื่องจาก ............... เป็นจานวนเต็ม จะได้ a/………..
- 18. คาชี้แจง จงพิสูจน์ 1. กาหนดให้ a, b, c, x และ y เป็นจานวนเต็ม จงแสดงว่า ถ้า a/b และ b/c แล้ว a/(b+c) พิสูจน์………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………
- 19. 2. กาหนดให้ a, b, c, x และ y เป็นจานวนเต็ม จงแสดงว่า ถ้า a/(2b-3c ) และ a/(b-2c) แล้ว a/c พิสูจน์…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… ………
- 20. 3. กาหนดให้ a, b, c, x และ y เป็นจานวนเต็ม จงแสดงว่า ถ้า a/(-4b+3c ) และ a/(3b-2c) แล้ว a/b พิสูจน์……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………….. จบแล้วค่ะ แล้วพบกันใหม่ชุด 2 จานวนเฉพาะ
- 21. เฉลยแบบฝึกหัด 1.1 การหารลงตัว 1. จงแสดงว่า -6/12 , 8/-16 , 5/25 , -9/0 , 10/-100 , -25/-25 , -2/0 , 4/0 , -11/0 , -1/1 -6/12 เพราะ 12 = -6( -2) 8/-16 เพราะ -16 = 8( -2) 5/25 เพราะ 25 = 5( 5 ) -9/0 เพราะ 0 = - 9(0) 10/-100 เพราะ -100 = 10(-10) -25/-25 เพราะ -25 = -25(1) -2/0 เพราะ 0 = -2(0) 4/0 เพราะ 0 = 4(0) -11/0 เพราะ 0 = -11(0) -1/1 เพราะ 1 = -1(-1)
- 22. 2. จงแสดงว่า 12/0 , -8/-32 , -5/125 , -91/0 , 100/-1,000 , -125/-250 1) 12/0 เพราะ 0 = 12(0) 2) -8/-32 เพราะ -32 = -8(4) 3) -5/125 เพราะ 125 = -5(-25) 4) -91/0 เพราะ 0 = -91(0) 5) 100/-1,000 เพราะ -1,000 = 100(-10) 6) -125/-250 เพราะ -250 = -125(2)
- 23. ตอนที่ 1 1. กาหนดให้ a, b, c, x และ y เป็นจานวนเต็ม จงแสดงว่า ถ้า a/b และ a/c แล้ว a/(bc) พิสูจน์ สมมติ a/b และ a/c จะมีจานวนเต็ม x ที่ทาให้ b = ax และมีจานวนเต็ม y ที่ทาให้ c = (a)y ดังนั้น bc = ax( ay ) เมื่อ x และ y เป็นจานวนเต็ม = axay = a(xay) เนื่องจาก xay เป็นจานวนเต็ม จะได้ a/(bc)
- 24. 2. กาหนดให้ a, b, c, x และ y เป็นจานวนเต็ม จงแสดงว่า ถ้า a/b และ a/c แล้ว a /(bc) พิสูจน์ สมมติ a/b และ a/c จะมีจานวนเต็ม x ที่ทาให้ b = ax และมีจานวนเต็ม y ที่ทาให้ c = (a)y ดังนั้น bc = ax( ay ) เมื่อ x และ y เป็นจานวนเต็ม = axay = a (xy) เนื่องจาก xy เป็นจานวนเต็ม จะได้ a /(bc)
- 25. 3. กาหนดให้ a, b, c, x และ y เป็นจานวนเต็ม จงแสดงว่า ถ้า a/b และ b/c แล้ว a/(b - c) พิสูจน์ สมมติ a/b และ b/c จะมีจานวนเต็ม x ที่ทาให้ b = ax และมีจานวนเต็ม y ที่ทาให้ c = (b)y ดังนั้น b-c = ax- by เมื่อ x และ y เป็นจานวนเต็ม = ax - axy = a(x - xy) เนื่องจาก x - xy เป็นจานวนเต็ม จะได้ a/(b - c)
- 26. คาชี้แจง จงพิสูจน์ 1. กาหนดให้ a, b, c, x และ y เป็นจานวนเต็ม จงแสดงว่า ถ้า a/b และ b/c แล้ว a/(b+c) พิสูจน์ สมมติ a/b และ b/c จะมีจานวนเต็ม x ที่ทาให้ b = ax และมีจานวนเต็ม y ที่ทาให้ c = by ดังนั้น b+c = ax+ by เมื่อ x และ y เป็นจานวนเต็ม = ax + axy = a(x + xy) เนื่องจาก x + xy เป็นจานวนเต็ม จะได้ a/(b + c)
- 27. 2. กาหนดให้ a, b, c, x และ y เป็นจานวนเต็ม จงแสดงว่า ถ้า a/(2b-3c ) และ a/(b-2c) แล้ว a/c พิสูจน์ สมมติ a/(2b – 3c) และ a/(b-2c) จะมีจานวนเต็ม n ที่ทาให้ 2b – 3c = an และมีจานวนเต็ม m ที่ทาให้ b - 2c = am ให้ 2b – 3c = an ……….(1) b - 2c = am ………..(2) (2)×2 จะได้สมการเป็น 2b - 4c = 2am ……….(3) (1)- (3) จะได้ 2b – 3c - 2b + 4c = an – 2am c = a(n-2m) เนื่องจาก n-2m เป็นจานวนเต็ม จะได้ a/c
- 28. 3. กาหนดให้ a, b, c, x และ y เป็นจานวนเต็ม จงแสดงว่า ถ้า a/(-4b+3c ) และ a/(3b- 2c) แล้ว a/b พิสูจน์ สมมติ a/(-4b + 3c) และ a/(3b-2c) จะมีจานวนเต็ม n ที่ทาให้ -4b + 3c = an และมีจานวนเต็ม m ที่ทาให้ 3b - 2c = am ให้ -4b + 3c = an ……….(1) 3b - 2c = am ………..(2) (1)×2 จะได้สมการเป็น -8b + 6c = 2an ……….(3) (2)×3 จะได้สมการเป็น 9b - 6c = 3am ……….(4) (3)+ (4) จะได้ -8b + 6c + 9b - 6c = 2an + 3am b = a(2n+3m) เนื่องจาก 2n+3m เป็นจานวนเต็ม จะได้ a/b