![Matrica
Matrica është një trajtë e formulave në matematikë e cila ka disa elemente dhe varrësisht nga
elemente e saja mund të merr disa forma si drejtëkëndore, katrore etj.Në përgjithësi matricat
emërtohen sipas shkronjave të mëdha A, B, C, ..., M, N, ... dhe shkurt paraqiten në trajtën [
ik]m,n.Matrice drejtëkëndore quhet bashkësia prej mn numrave ik (i=1,2, ..., m; k=1, 2, ..., n} të
rradhitura në një tabelë të formës drejtëkëndore e cila përmban m rreshta dhe n shtylla.[1]
Matricat për herë të parë janë futur në përdorim nga Xhejms Josef Silvester në vitin 1850.
Mbledhja dhe Shumzimi
Shuma e dy -matricave gjindet, duke mbledhur dy komponentet me koeficient e njëjtë, kjo
tregon se mbledhja e matricave është e definuar vetëm për ato që kanë numër të barabartë të
rendeve dhe kolonave respektivisht. Shkurtimisht dhe në formë matematikore shkruhet kështu
Shembull konkret
Prodhimi Skalar
Një matricë shumëzohet me një Skalar , nëse të gjithë anëtarët e matricës shumëzohen me skalarin :
Shembull konkret
Prodhimi i dy matricave
Prodhimi i dy matricave është pak më i komplikuar se sa mbledhja dhe shumëzimi i matricës me
skalar. Dy matrica dhe shumëzohen, duke
prodhuar rendin e parë të matricës se parë me kolonën e parë të matricës së dytë për t'u fituar
anëtari i parë.
dhe
Shembull konkret
Prodhimi i dy matricave eshte cdohere asociativ:](https://image.slidesharecdn.com/matrica-150601123314-lva1-app6891/85/Matrica-1-320.jpg)
![Vlen gjithashtu ligji i shperndarjes:
Por te prodhimi i dy matricave nuk vlen ligji i nderrimit
Kuptimi dhe barazia e matricave
Simbol
Matricat rëndom i emërtojmë me shkronja të mëdha të alfabetit:
Matrica drejtkëndore
Matrice drejtkëndore quhet bashkësia prej numrave të
radhitur në një tabelë të formës drejtkëndore e cila përmban rreshta dhe shtylla[1]
Formulimi i përkufizimit
ose shkurt (...1)
Numrat quhen elementet e matricës (1), ku indeksi i parë i
elementit shënon numrin e rreshtit në të cilin ndodhet elementi, kurse indeksi i dytë numrin e shtyllës. Kështu,
p.sh. elementi ndodhet në rreshtin e dytë dhe në shtyllën e tretë, përkatësisht në prerjen e rreshtit të dytë me
shtyllën e tretë.
Matrica komplekse
Matrica quhet matricë komplekse nëse së paku një element i saj është numër kompleks, ndërsa quhet matricë
reaIe, nëse të gjitha elementet e saja janë numra realë.
Matricat e tipit të njëjtë
Dy matrica që kanë numër të barabartë rreshtash ( ) dhe numër të barabartë shtyllash ( ) quhen
matrica të tipit të njëjtë ose formatës së njëjtë .
Matrica katrore
Matrica e tipit quhet matricë katrore
Smboli
Matrica katrore shënohet](https://image.slidesharecdn.com/matrica-150601123314-lva1-app6891/85/Matrica-2-320.jpg)
![ose shkurt (...2)
Rendi i matricëskatrore
Matrica katrore që ka rreshta dhe shtylla quhet matricë e rendit . Matrica katrore e rendit është
identike me vetë elementin. Në matricën katrore (2) elemente formojne diagonalen
kryesore ndërkaq, elementet diagonalen anësore të kësaj matrice.
Matrica njështyllore
Matrica e tipit :
ose shkurt (...3)
quhet matricë njështyllore.
Matrica njërreshtore
Matrica e tipit :
ose shkrut (...4)
quhet matricë njërreshtore.
Zero matrica
Matrica e tipit që ka të gjitha elementet të barabarta me zero quhet zero-matricë dhe shënohet
me ose me [2]
, pra:
(...6)
Barazia e matricave
Përkufizimi
Dy matrica janë të barabarta atëherë dhe vetëm atëherë, kur elementet
korresponduese të tyre janë të barabarta[3]
, pra:
(...5)
.](https://image.slidesharecdn.com/matrica-150601123314-lva1-app6891/85/Matrica-3-320.jpg)
![Përcaktorët
Përcaktori i matricës apo determinanti i matricës është i vetmi numër i caktuar që i shoqërohet
matricës katrore A=[aik]n
1 të rendit n[1]±Êë°ù³¦²¹°ì³Ù´Ç°ù±ð³Ù shkruhen zakonisht me shkrojat e marra nga
vetë matrica me parashtesën det. P.sh. det A lexohet përcaktori apo determinati i matricës A.
Secilës matricë katrore të rendit i shoqërohet një dhe vetëm një numër i caktuar
i cili quhet përcaktor (determinant) i matricës ose vetëm përcaktor (determinant)dhe
shënohet ose
Kështu për shembull:
Matricës së rendit të dytë i shoqërohet numri , rrjedhimisht
(...24)
i cili quhet përcaktor i rendit të dytë.
Matricës së rendit të tretë i shoqërohet numri
(...2
5)
i cili quhet përcaktor i rendit të tretë.
Ky numër formohet në këtë mënyrë:
Marrim prodhimin e elementeve të matricës që ndodhennë diagonalen
kryesore. Nëse indekset e dyta të faktorëve të këtij prodhimi permutohen:
dhe secilit prodhim që del në këtë mënyrë i shoqërohet shenja ose , varësisht se a i përgjigjet
prodhimi permutacionit çift apo tek, atëherë përftohet numri:
që përkufizohet si përcaktor i rendit të tretë.
Në mënyrë të ngjashme matricës së rendit katërt i shoqërohet numri që përftohet
kur në prodhimin indeksat e dytë të faktorëve permutohen (dalin:
permutacione) dhe secilit prodhim i shoqërohet parashenja përkatëse:
.
Ky numër quhet përcaktor i rendit të katërt.
Në përgjithësi, matricës së rendit i shoqërohet numri që përkufizohet me relacionin
, (26)
(ku paraqet një permutacion prej elementeve , kurse shënon numrin e
inversioneve[1] të atij permutacioni) i cili quhet përcaktor i rendit . Në formulën (26)
mbledhësit quhen kufiza të përcaktorit. Përcaktori i rendit ka
gjithsej kufizash. Secila kufizë shprehet në formë të prodhimit prej faktorëve - elementeve -,
ku figuron nga një element prej secilit rresht, respektivisht prej secilës shtyllë.
Jump up↑ 3) Në një permutacion dy elemente formojnë një inversion nëse ato nuk janë radhitur
sipas rritjes së rangut të tyre.](https://image.slidesharecdn.com/matrica-150601123314-lva1-app6891/85/Matrica-4-320.jpg)
More Related Content
What's hot (20)
More from Internet VloraAlb (20)
Matrica
- 1. Matrica Matrica është një trajtë e formulave në matematikë e cila ka disa elemente dhe varrësisht nga elemente e saja mund të merr disa forma si drejtëkëndore, katrore etj.Në përgjithësi matricat emërtohen sipas shkronjave të mëdha A, B, C, ..., M, N, ... dhe shkurt paraqiten në trajtën [ ik]m,n.Matrice drejtëkëndore quhet bashkësia prej mn numrave ik (i=1,2, ..., m; k=1, 2, ..., n} të rradhitura në një tabelë të formës drejtëkëndore e cila përmban m rreshta dhe n shtylla.[1] Matricat për herë të parë janë futur në përdorim nga Xhejms Josef Silvester në vitin 1850. Mbledhja dhe Shumzimi Shuma e dy -matricave gjindet, duke mbledhur dy komponentet me koeficient e njëjtë, kjo tregon se mbledhja e matricave është e definuar vetëm për ato që kanë numër të barabartë të rendeve dhe kolonave respektivisht. Shkurtimisht dhe në formë matematikore shkruhet kështu Shembull konkret Prodhimi Skalar Një matricë shumëzohet me një Skalar , nëse të gjithë anëtarët e matricës shumëzohen me skalarin : Shembull konkret Prodhimi i dy matricave Prodhimi i dy matricave është pak më i komplikuar se sa mbledhja dhe shumëzimi i matricës me skalar. Dy matrica dhe shumëzohen, duke prodhuar rendin e parë të matricës se parë me kolonën e parë të matricës së dytë për t'u fituar anëtari i parë. dhe Shembull konkret Prodhimi i dy matricave eshte cdohere asociativ:
- 2. Vlen gjithashtu ligji i shperndarjes: Por te prodhimi i dy matricave nuk vlen ligji i nderrimit Kuptimi dhe barazia e matricave Simbol Matricat rëndom i emërtojmë me shkronja të mëdha të alfabetit: Matrica drejtkëndore Matrice drejtkëndore quhet bashkësia prej numrave të radhitur në një tabelë të formës drejtkëndore e cila përmban rreshta dhe shtylla[1] Formulimi i përkufizimit ose shkurt (...1) Numrat quhen elementet e matricës (1), ku indeksi i parë i elementit shënon numrin e rreshtit në të cilin ndodhet elementi, kurse indeksi i dytë numrin e shtyllës. Kështu, p.sh. elementi ndodhet në rreshtin e dytë dhe në shtyllën e tretë, përkatësisht në prerjen e rreshtit të dytë me shtyllën e tretë. Matrica komplekse Matrica quhet matricë komplekse nëse së paku një element i saj është numër kompleks, ndërsa quhet matricë reaIe, nëse të gjitha elementet e saja janë numra realë. Matricat e tipit të njëjtë Dy matrica që kanë numër të barabartë rreshtash ( ) dhe numër të barabartë shtyllash ( ) quhen matrica të tipit të njëjtë ose formatës së njëjtë . Matrica katrore Matrica e tipit quhet matricë katrore Smboli Matrica katrore shënohet
- 3. ose shkurt (...2) Rendi i matricëskatrore Matrica katrore që ka rreshta dhe shtylla quhet matricë e rendit . Matrica katrore e rendit është identike me vetë elementin. Në matricën katrore (2) elemente formojne diagonalen kryesore ndërkaq, elementet diagonalen anësore të kësaj matrice. Matrica njështyllore Matrica e tipit : ose shkurt (...3) quhet matricë njështyllore. Matrica njërreshtore Matrica e tipit : ose shkrut (...4) quhet matricë njërreshtore. Zero matrica Matrica e tipit që ka të gjitha elementet të barabarta me zero quhet zero-matricë dhe shënohet me ose me [2] , pra: (...6) Barazia e matricave Përkufizimi Dy matrica janë të barabarta atëherë dhe vetëm atëherë, kur elementet korresponduese të tyre janë të barabarta[3] , pra: (...5) .
- 4. Përcaktorët Përcaktori i matricës apo determinanti i matricës është i vetmi numër i caktuar që i shoqërohet matricës katrore A=[aik]n 1 të rendit n[1]±Êë°ù³¦²¹°ì³Ù´Ç°ù±ð³Ù shkruhen zakonisht me shkrojat e marra nga vetë matrica me parashtesën det. P.sh. det A lexohet përcaktori apo determinati i matricës A. Secilës matricë katrore të rendit i shoqërohet një dhe vetëm një numër i caktuar i cili quhet përcaktor (determinant) i matricës ose vetëm përcaktor (determinant)dhe shënohet ose Kështu për shembull: Matricës së rendit të dytë i shoqërohet numri , rrjedhimisht (...24) i cili quhet përcaktor i rendit të dytë. Matricës së rendit të tretë i shoqërohet numri (...2 5) i cili quhet përcaktor i rendit të tretë. Ky numër formohet në këtë mënyrë: Marrim prodhimin e elementeve të matricës që ndodhennë diagonalen kryesore. Nëse indekset e dyta të faktorëve të këtij prodhimi permutohen: dhe secilit prodhim që del në këtë mënyrë i shoqërohet shenja ose , varësisht se a i përgjigjet prodhimi permutacionit çift apo tek, atëherë përftohet numri: që përkufizohet si përcaktor i rendit të tretë. Në mënyrë të ngjashme matricës së rendit katërt i shoqërohet numri që përftohet kur në prodhimin indeksat e dytë të faktorëve permutohen (dalin: permutacione) dhe secilit prodhim i shoqërohet parashenja përkatëse: . Ky numër quhet përcaktor i rendit të katërt. Në përgjithësi, matricës së rendit i shoqërohet numri që përkufizohet me relacionin , (26) (ku paraqet një permutacion prej elementeve , kurse shënon numrin e inversioneve[1] të atij permutacioni) i cili quhet përcaktor i rendit . Në formulën (26) mbledhësit quhen kufiza të përcaktorit. Përcaktori i rendit ka gjithsej kufizash. Secila kufizë shprehet në formë të prodhimit prej faktorëve - elementeve -, ku figuron nga një element prej secilit rresht, respektivisht prej secilës shtyllë. Jump up↑ 3) Në një permutacion dy elemente formojnë një inversion nëse ato nuk janë radhitur sipas rritjes së rangut të tyre.
- 5. PROJEKT TEMA: MATRICAT DHE PERCAKTORET LENDA: MATEMATIKE E AVANCUAR PUNOI: MATINA RUNAJ