�ݺ�ߣ

Problema ndërtimi
1
1Përzgjodhi: Hysen Doko
PROBLEMA NDËRTIMI
Përmblodhi: Hysen Doko
hysen.doko.hd@gmail.com , hysen.doko@univlora.edu.al
Ushtrimi 1: Ndërtoni drejtëzën që pret katër drejtëza të dhëna, dy prej të cilave janë paralele,
kurse dy të tjerat presin planin e caktuar nga dy të parat. Në cilat raste drejtëza e kërkuar nuk
ekziston?
Zgjidhje: Le të jenë dhënë dy drejtëza    a b . Ato përcaktojnë një plan  . Le të jenë  c
dhe  d dy drejtëza që presin  përkatësisht në pikat C dhe D .
Kërkohet të ndërtohet një drejtëz që pret katër drejtëzat e dhëna.
Analizë. Supozojmë se ekziston drejtëza  e që pret katër drejtëzat e dhëna.
Meqenëse pret dy drejtëzat    a b që ndodhen në planin  atëherë kjo drejtëz ka dy pika
A dhe B të përbashkëta me planin  , prandaj ndodhet në planin  . Por ajo pret edhe
drejtëzat  c dhe  d dhe meqënëse ajo ndodhet në planin  , atëherë nuk ka ku ti presë tjetër
këto drejtëza veçse në pikat që këto drejtëza kanë në planin  , domethënë në pikat C dhe .D
Pra drejtëza që pret katër drejtëza të dhëna është drejtëza CD e caktuar nga pikat C dhe D .
Ndërtim. Ndërtojmë drejtëzën CD të caktaur na pikat C dhe D .
Në qoftë se kjo drejtëz pret dy drejtëzat    a b , atëherë ajo është drejtëza e kërkuar.
Vërtetim. Drejtëza CD ndodhet në planin  , ka të përbashkët me drejtëzat  c dhe  d vetëm
pikat C dhe D (sepse vetëm këto pika kanë këto drejtëza në planin  ), pra i pret ato si dhe
pret dy drejtëzat    a b .
Fig. 1: Rastet e drejtëzave
Diskutim. Në qoftë se drejtëza pret njërën nga dy drejtëzat    a b atëherë ajo pret dhe
tjetrën dhe problemi ka një zgjidhje.
Në qoftë se drejtëza CD nuk pret njerën nga dy drejtëzat    a b , atëherë ajo nuk pret dje
tjetrën (domethënë është paralele me to), atëherë problemi nuk ka zgjidhje.

Problema ndërtimi
2
Ushtrimi 2: Janë dhënë dy drejtëza te kithta  a dhe  b dhe një pikë A që nuk ndodhet në
to. Ndërtoni planin që përmban pikën e dhënë A dhe është paralel me drejtëzat e dhëna  a
dhe  b .
Zgjidhje: Analizë. Pranojmë sikur ekziston një plan  që përmban pikën e dhënë A dhe është
paralel me dy drejtëzat e dhëna  a dhe  b .
Pranojmë sikur ekziston një plan  që përmban pikën e dhënë A dhe është paralel me dy
drejtëzat e dhëna  a dhe  b .Nëse nëpër pikën A ndërtojmë drejtëzat    1a a dhe
   1b b , atëherë nga teorema “Në qoftë se një drejtëz e dhënë është paralele me një plan të
dhënë dhe nëpër një pikë çfarëdo të planit ndërtohet një drejtëz paralele me drejtëzën e dhënë,
atëherë drejtëza e ndërtuar ndodhet në planin e dhënë”, që domethënë se të dyja drejtëzat  1a
dhe  1b ndodhen në planin  . Drejtëzat  1a dhe  1b kanë të përbashkët pikën A , por janë
të ndryshme, sepse në rast të kundërt dy drejtëzat  a dhe  b , duke qënë paralele me një të
tretë, do të ishin paralele ndërmjet tyre. Kjo do të ishte në kundërshti me kushtin që  a dhe
 b janë të kithta. Mbetet që drejtëzat  1a dhe  1b të jenë prerëse. Pra plani  përcaktohet
nga drejtëzat  1a dhe  1b , që janë prerëse në pikën A dhe janë përkatësisht paralele me
drejtëzat  a dhe  b .
Ndërtim. Nëpër pikën A ndërtojmë drejtëzat    1a a dhe    1b b . Ndërtojmë planin 
që përcaktohet nga drejtëzat prerëse  1a dhe  1b . Plani  është plani i kërkuar.
Vërtetim. Plani  përmbush kushtet e kërkuara. Ai përmban pikën A . Meqë drejtëza dhe
 1a  , atëherë  1a  .
Meqë drejtëza    1b b dhe  1b  , atëherë  1b  .
Fig. 2

Problema ndërtimi
3
Diskutim. Plani  është i vetëm. Supozojmë të kundërtën, sikur do të ekzistonte edhe një plan
tjetër 1 që do të përmbante drejtëzat pikën e dhënë A dhe do të ishte paralel me dy drejtëzat
e dhëna  a dhe  b .
Ky plan do të përmbante drejtëzat  1a dhe  1b . Në rast të kundërt, duke patur pikën A të
përbashkët me to, do t’i priste ato dhe bashkë me to do të priste dhe drejtëzat paralele  a dhe
 b . Kjo do të ishte në kundërsht me faktin që plani 1 është paralel me drejtëzat  a dhe  b
Mbetet qe plani  është i vetëm.
Ushtrimi 3: Jepen në hapësirë dy drejtëza të kithta  a dhe  b . Ndërtoni nëpër drejtëzën
 d një plan paralel me drejtëzën  a .
Zgjidhje: Analizë. Pranojmë sikur ekziston një plan  që përmban drejtëzën e dhënë  b dhe
është paralel me drejtëzën e dhënë  a . Marrim një pikë  B b . Nëse nëpër pikën B
ndërtojmë drejtëzat    1a a , atëherë nga teorema “Në qoftë se një drejtëz e dhënë është
paralele me një plan të dhënë dhe nëpër një pikë çfarëdo të planit ndërtohet një drejtëz paralele
me drejtëzën e dhënë, atëherë drejtëza e ndërtuar ndodhet në planin e dhënë”, ajo do ndodhet
në planin .
Pra plani  përcaktohet nga drejtëzat    1a a dhe  b që janë prerëse në pikën B .
Ndërtim. Marrim një pikë  B b . Nëpër pikën B ndërtojmë drejtëzat    1a a . Ndërtojmë
planin  që përcaktohet nga prejtëzat prerëse  1a dhe  b . Plani  është plani i kërkuar.
Vërtetim. Plani  përmbush kushtet e caktuara. Ai përmban drejtëzën  b . Meqë drejtëza
   1a a dhe  1a  , atëherë  1a  .
Fig. 3

Problema ndërtimi
4
Diskutim. Plani  është i vetëm. Supozojmë të kundërtën, sikur do të ekzistonte edhe një plan
tjetër 1 që do të kalonte nëpër drejtëzën  b dhe do të ishte paralel me drejtëzën e dhënë  .a
Ky plan do të përmbante drejtëzat  1a dhe  b . Në rast të kundërt, në qoftë se do të priste
 1a atëherë ai do të priste edhe drejtëzën  a . Kjo do të ishte në kundërshti me faktin që plani
1 është paralel me drejtëzën  a .
Drejtëzat prerëse  1a dhe  b janë prerëse në pikën B , në të kundërt ato do të puthiteshin dhe
do të kishim    a b , e cila bie në kundërshti me kushtin që  a dhe  b janë të kithta. Por
drejtëzat prerëse  1a dhe  b caktojnë një plan të vetëm. Mbetet që plani 1 dhe  të
puthiten, pra ky plan  është i vetëm.
Ushtrimi 4: Nga një pikë P e drejtëzës  d të ndërtohet plani  pingul me drejtëzën  d .
Zgjidhje: Analizë. Nëse ekziston plani  që përmban pikën P dhe është pingul me drejtëzën
 d , atëherë drejtëza  d do të jetë pingule me dy drejtëza prerëse të planit  . Pra plani 
përcaktohet nga dy drejtëza prerëse në P , që janë pingule me  d .
Ndërtim. Marrim dy plane të ndryshme  dhe  që përmbajnë drejtëzën  d dhe pikën P .
Nga pika P , në planet  dhe  ndërtojmë përkatësisht drejtëzat  b dhe  c pingule me
drejtëzën  d . Drejtëzat  b dhe  c janë të ndryshme, por kanë pikën P të përbaskët, prandaj
priten në këtë pikë. Për rrjedhojë ato caktojnë një plan     ,b c  . Plani  është i kërkuari.
Vërtetim. Nga ndërtimi, plani  përmban pikën P . Meqënëse drejtëza  d është pingule me
dy drejtëzat prerëse  b dhe  c të planit  , atëherë drejtëza  d do të jetë pingul me planin
 dhe anasjelltas.
Fig. 4

Problema ndërtimi
5
Diskutim. Plani që përmban pikën P dhe është pingu me drejtëzën  d është i vetëm. Nëse
do të supozonim se ekziston edhe një plan tjetër 1 që do të përmbajë pikën P dhe të jetë
pingul me drejtëzën  d , atëherë këto plane do të ishin paralele. Por meqë do të kishin pikën
P të përbashkët, ata do të puthiteshin. Mbetet që plani  , i cili përmban pikën P dhe është
pingul me drejtëzën  d është i vetëm.
Ushtrimi 5: Nga një pikë P që nuk ndodhet në një drejtëz  d të ndërtohet plani  pingul
me drejtëzën  d .
Zgjidhje: Kemi të bëjmë me një problemë ndërtimi, e cila zgjidhet me teknikën e punës nga
fundi.
Analizë. Nëse ekziston plani  që përmban pikën P dhe është pingul me drejtëzën  d ,
atëherë drejtëza  d do të jetë pingule me dy drejtëza të planit  , që priten në një pikë O të
ndrejtëzës  d . Pra plani  përcaktohet nga dy drejtëza  b dhe  c . Drejtëza  b ndodhet
në planin  , përmban pikën P , është pingul me drejtëzën  d dhe pret ate në pikën O .
Drejtëza  c ndodhet në një plan  , përmban pikën O dhe është pingule me drejtëzën  d .
Ndërtim. Marrim dy plane të ndryshme  dhe  që përmbajnë drejtëzën  d , kurse plani 
të përmbajë edhe pikën P . Nga pika P , në planin  ndërtojmë drejtëzën  b pingule me
drejtëzën  d që e pret atë në pikën O . Nga pika O në planin  ndërtojmë drejtëzën  c
pingul me drejtëzën  d . Drejtëzat  b dhe  c janë të ndryshme por kanë pikën O të
përbashkët, prandaj ato priten në këtë pikë. Për rrjedhojë, to caktojnë një plan     ,b c  .
Plani  është plani i kërkuar.
Vërtetim. Nga ndërtimi, plani  përmban pikën P pasi përmban drejtëzën  b . Nga ndërtimi
gjithashtu drejtëzat  b ,  c janë prerëse në O . Meqënëse drejtëza .. është pingul me dy
Diskutim. Plani që përmban pikën P dhe është pingul me drejtëzën  d është i vetëm. Nëse
do të supozonim se ekziston edhe një plan tjetër 1 që të përmbajë pikën P dhe të jetë pingul
me drejtëzën  d , atëherë këto plane do të ishin paralele. Por meqë do të kishin pikën P të
përmbashkët, ata do të puthiteshin.

Problema ndërtimi
6
Mbetet që plani i cili përmban pikën P dhe është pingul me drejtëzën  d të jetë i vetëm.
drejtëzat prerëse  b ,  c të planit  , atëherë drejtëza  d do të jetë pingule me planin .
Fig. 5
Ushtrimi 6: Nëpër një pikë B që nuk ndodhet në planin e dhënë  , të ndërtohet drejtëza  d
që të jetë paralele me planin e dhënë dhe pingul me një drejtëz  a të dhënë.
Zgjidhje: Jepen plani  , drejtëza  a dhe një pikë B  .
Analizë. Në qoftë se ekziston një drejtëz  b që të përmbajë pikën B , të jetë paralele me planin
e dhënë  dhe pingule me një drejtëz të dhënë  a , atëherë kjo drejtëz  b do të ndodhet në
një plan  i cili do të përmbajë pikën B dhe do të jetë pingul me drejtëzën  a si edhe në një
plan  i cili do të përmbajë pikën B dhe do të jetë paralel me planin  . Pra drejtëza  b do
të jetë prerja e planeve  dhe  .
Ndërtim. Nëpër pikën B ndërtojmë planin  paralel me planin  .
Nëpër pikën B ndërtojmë planin  pingul me drejtëzën  a .
Planet e ndryshëm  dhe  kanë të përbashkët pikën B , prandaj priten sipas një drejtëze. Kjo
është drejtëza  b e kërkuar.
Vërtetim. Planet e ndryshëm  dhe  kanë të përmbashkët pikën B , prandaj priten sipas një
drejtëze që përmban pikën B . Pra drejtëza  b përmban pikën B .
Drejtëza  b ndodhet në planin  që është paralel me planin  . Pra drejtëza  b është paralele
me planin  . Drejtëza  b ndodhet në planin  që është pingul me drejtëzën  a . Pra drejtëza
 b është pingule me drejtëzën  a . Pra drejtëza  b është paralele me planin  dhe pingule
me drejtëzën  a .

Problema ndërtimi
7
Fig.2
Diskutim. Në qoftë se drejtëza  a do të ishte pingule me planin  , atëherë planet  dhe 
do të puthiteshin. Në këtë rast problema do të kishte një pafundësi zgjidhjesh.
Ushtrimi 7: Nëpër një pikë A të planit  ndërtoni në këtë plan drejtëzën  a që të jetë pingule
me një drejtëz  b të dhënë të hapësirës.
Zgjidhje: Jepen plani  , drejtëza  b dhe një pikë A që ndodhet në planin  .
Analizë. E supozojmë problemin të zgjidhur. Pra është ndërtuar një drejtëz  a që ndodhet në
planin  , e përmban pikën A dhe është pingule me drejtëzën  b .
Meqënëse drejtëza  a është pingul me drejtëzën  b , atëherë ajo ndodhet në një plan pingul
me drejtëzën  b . Por meqënëse drejtëza  a përmban pikën A , atëherë ajo ndodhet në një
plan  , që përmban pikën A dhe është pingul me drejtëzën  b . Por drejtëza  a ndodhet në
planin  . Pra, drejtëza  a do të ndodhet në planin  si dhe në planin  , që përmban pikën
A dhe është pingu me drejtëzën  b . Pra drejtëza  a është prerja e planeve  dhe  .
Fig. 5
Ndërtim. Ndërtojmë planin  që përmban pikën A dhe është pingul me drejtëzën  b . Prerja
e planeve  dhe  është drejtëza e kërkuar  a .

Problema ndërtimi
8
Vërtetim. Nga ndërtimi, drejtëza  a përmban pikën A dhe ndodhet në planin  . Por ajo
ndodhet edhe në planin  , e cila nga ndërtimi është pingul me drejtëzën  b . Atëherë drejtëza
 b është pingule me secilën drejtëz të këtij plani, pra edhe me drejtëzën  a . E thënë ndryshe,
drejtëza  a është pingul me drejtëzën  b . Pra drejtëza  a është drejtëza e kërkuar.
Diskutim. Nga pika A mund të ndërtohet vetëm një plan  pingul me drejtëzën  b . Planet e
ndryshëm  dhe  (që janë pingul ndërmjet tyre) kanë të përbashkët një pikë A , prandaj
priten sipas një drejtëze të vetme  a . Pra, problemi ka një zgjidhje të vetme.
Ushtrimi 8: Jepen plani  , drejtëza  b paralele me të dhe një pikë A që ndodhet në planin
 . Ndërtoni një drejtëz  a që të ndodhet në planin  , të përmbajë pikën A dhe të jetë pingule
me drejtëzën  b .
Zgjidhje: Jepen plani  , drejtëza  b paralele me planin  dhe një pikë A që ndodhet në
planin  .
Analizë. E supozojmë problemin e zgjidhur. Pra ështe ndërtuar një drejtëz  a që ndodhet në
planin  , përmban pikën A dhe është pingule me drejtëzën  b . Ndërtojmë planin  dhe
nëpër pikën A ndërtojmë një drejtëz    'b b . Nga teorema e drejtëzave paralele me planin,
 'b do të ndodhet në planin  .
Meqënëse drejtëza  a ndodhet në planin  , është pingul me drejtëzën  b dhe    'b b ,
atëherë ajo ështe pingule edhe me drejtëzën  'b , pasi formon me të po ate kënd që formon me
drejtëzën  b (nga përkufizimi i këndit ndërmjet drejtëzave në hapësirë)
Pra, drejtëza  a ndodhet në planin  , përmban pikën A dhe është pingul me drejtëzën  ' ,b
e cila ndodhet në planin e dhënë  , përmban pikën A dhe është paralele me drejtëzën  b .
Ndërtim. Ndërtojmë planin  që përmban drejtëzën  b dhe pikën A . Ndërtojmë nëpër pikën
A një drejtëz    'b b . Në planin  ndërtojmë nëpër pikën A një drejtëz    'a b .
Drejtëza  a është drejtëza e kërkuar.

Problema ndërtimi
9
Vërtetim. Nga ndërtimi, ajo ndodhet në planin  , përmban pikën A dhe    'a b . Gjithashtu
nga ndërtimi    'b b , atëherë    a b .
Fig. 10
Diskutim. Nga pika A mund të ndërtohet vetëm një drejtëz    'b b , madje ajo ndodhet në
planin  . Nëpër planin  , nëpër pikën A mund të ndërtohet vetëm një drejtëz  a pingul me
 'b . Pra problem ka një zgjidhje të vetme.
Ushtrimi 9: Një drejtëz  a është paralele me një plan  . Të ndërtohet një plan  i cili
përmban drejtëzën  a dhe është paralel me planin  .
Zgjidhje: Një drejtëz  a është paralele me një plan  . Të ndërtohet nëpër drejtëzën  a një
plan  paralel me planin  .
Analizë. Supozojmë se ekziston një plan  që përmban drejtëzën  a dhe është paralel me
planin  .
Në qoftë se në drejtëzën  a do të marrim një pikë A dhe do të ndërtojmë një drejtëz tjetër
 b  , atëherë  b do të ndodhet në planin  (në të kundërt ajo do të priste planin  dhe
për rrjedhojë edhe planin  , gjë që bie në kundërshti me kushtin që  a ështe paralele me një
plan  )
Në qoftë se në planin  do të marrim një pikë B dhe do të ndërtojmë    'a a dhe    ' ,b b
atëherë  'a dhe  'b do të ndodhen në planin  (në të kundërt ato do të prisnin
edhe planin  për rrjedhojë edhe planin  , gjë që është në kundërshtim me ndërtimin). Pra
plani  caktohet nga dy drejtëzat prerëse  a dhe  b , kurse plani  caktohet nga dy drejtëzat
prerëse  'a dhe  'b .

Problema ndërtimi
10
Ndërtim. Marrim një pikë B në planin  dhe ndërtojmë planin   ,a B  . Shënojmë me
 'a B   . Marrim në planin  një drejtëz  'b që përmban pikën B . Ndërtojmë planin
  ' ,b A  . Marrim në planin  një drejtëz  b që përmban pikën A dhe është paralele me
 'b . Ndërtojmë planin     ,a b  . Plani  është plani i kërkuar.
Vërtetim. Nga ndërtimi    'a a dhe    'b b . Drejtëza  a dhe  b ndodhen në një plan
dhe kanë pikën A të përbashkët, prandaj ato janë prerëse. Meqënëse dy drejtëza  a dhe  b
të planit  janë përkatësisht paralele me dy drejtëza  'a dhe  'b të planit  , atëherë të dy
planet  dhe  janë paralele.
Fig. 11
Diskutim. Mendojmë sikur nga pika A të jetë ndërtuar edhe plani ' paralel me planin  . Ai
do të përmbajë drejtëzën  a , në të kundërt sikur drejtëza  a të priste planin  , atëherë ajo
do të priste edhe planin  që është paralel me të. Por dy drejtëza prerëse caktojnë një plan të
vetëm, prandaj  puthitet me ' . Pra nga pika A mund të ndërtohet vetëm një plan paralel
me planin e dhënë  .
Ushtrimi 10: Jepen pikat , ,A B C jo në vijë të drejtë dhe segmentet , ,a b c . Ndërtoni rrethin
  të tillë që segmentet e ngjenteve të tij të hequra prej pikave , ,A B C të jenë të barabarta
përkatësisht me , ,a b c .
Zgjidhje: Analizë. Le të jetë  ,O R rrethi i kërkuar. Nga kushti, ky rreth është orthogonal
me rrathet      1 2 3, , , , ,A a B b C c   . Pra      1 2 3
2
0F O F O F O R      . Kështu,
pika O është qendra radikale e rrathëve      1 2 3, ,   dhe ndodhet jashtë këtyre rrathëve.
Ndërtim. Ndërtojmë qendrën radikale O të rrathëve      1 2 3, , , , ,A a B b C c   dhe pikën
1T të rrethit  1 , të tillë që 1
2
OT A

 dhe rrethin  ,O R ku 1R OT .

Problema ndërtimi
11
Vërtetim.  ,O R është rrethi i kërkuar. Vërtet nga ndërtimi del se 1OT është tangjente e
rrethit  1 . Kështu, rrathët   dhe  1 janë ortogonalë, pra  1
2 2
1F O OT R   ; mirëpo
O është qendra radikale e rrathëve      1 2 3, ,   , prandaj:      2 3 1
F O F O F O   
2
,R domethënë rrethi  ,O R është ortogonal me secilin prej rrathëve      1 2 3, ,   .
Rrjedhimisht, ai është rrethi i kërkuar.
Diskutim. Problema ka një zgjidhje të vetme kur qendra radikale e rrathëve  1 , ,A a
   2 3, , ,B b C c  ndodhet jashtë këtyre rrathëve.
Ushtrimi 11: Pikat M dhe N ndodhen në brinjët AD dhe AB të katërfaqëshit ABCD. Të
ndërtohet prerja e katërfaqëshit me planin  , i cili kalon nga pikat ,M N dhe është paralel me
brinjën AC .
Zgjidhje ushtrimi 11:
Analizë. Supozojmë se MNEF është prerja e kërkuar. ABD MN   . Nga kushti AC  ,
prandaj prerjet e faqeve ABC dhe ACD me planin  do të jenë përkatësisht NE dhe MF
paralele me AC .
Ndërtim. Ndërtojmë ,NE AC E BC , ,MF AC F CD . Katërkëndëshi MNEF është
prerja e kërkuar.
Fig. 39
Vërtetim.  ,NE AC MF AC NE MF . Plani  që kalon nga NE dhe MF është
paralel me AC sepse AC NE .
Diskutm. Problema ka vetëm një zgjidhje sepse nga drejtëzat paralele NE dhe MF kalon një
plan i vetëm.

Problema ndërtimi
12
Ushtrimi 12: Janë dhënë plani  , drejtëza  b dhe pika A . Ndërtoni planin  që përmban
pikën A , është paralel me drejtëzën  b dhe ështe pingul me planin  .
Zgjidhje ushtrimi 12: Jepen plani  , drejtëza  b dhe pika A . Të ndërtohet plani  , i tillë
që A  ,  b  dhe   .
Analizë. Supozojmë sikur kemi ndërtuar planin  , i tillë që A  ,  b  dhe   .
Shënojmë  d   . Nëpër pikën A ndërtojmë    'b b . Ajo ekziston dhe është e vetme.
Nga kushti që  b  dhe nga ndërtimi    'b b , atëherë  'b  . Në planin  ndërtojmë
   AD d , ku  D d . Meqënëse    AD d dhe   , tëherë  AD  . Pra, plani 
përmban drejtëzat prerëse  a dhe  'b . Domethënë plani  caktohet prej drejtëzës  a , që
është ndërtuar nga pika A pingul me planin  si dhe nga drejtëza  'b , që është ndërtuar nga
pika A paralele me  b .
Fig. 37.
Ndërtim. Ndërtojmë një plan  që përmban pikën A dhe drejtëzën  b . (Meqënëse  C b ,
atëherë ato caktojnë një plan). Në planin  , nga pika A ndërtojmë    'b b . Ndërtojmë
 AD  , ku D  . Ndërtojmë planin  që përmban drejtëzat prerëse  a dhe  b . Plani
 është plani i kërkuar.
Vërtetim. Plani  përmban drejtëzën  'b . Nga ndërtimi    'b b . Atëherë  b  . Plani 
përmban drejtëzën  AD . Meqënëse  AD  , atëherë   .
Diskutim. Supozojmë sikur përveç planit  kemi ndërtuar edhe një plan ' që plotëson
kushtet e problemit (domethënë ' është i tillë që 'A  ,   'b  dhe '  ). Meqënëse
  'b  , 'A  ,  'A b dhe    'b b , atëherë edhe  ' 'b  . Meqënëse '  , ',A 
 a  , atëherë   'a  . Nga pika A e ' mund të ndërtohet vetëm një pingule  a mbi
 dhe ajo do të ndodhet në ' . Pra planet  dhe ' përmbajnë dy drejtëza prerëse, prandaj
janë puthitëse. Pra në këtë rast problemi ka një zgjidhje të vetme.

Problema ndërtimi
13
Ushtrimi 13: Të ndërtohet plani  i cili përmban pikën e dhënë C dhe është pingul me dy
plane prerëse të dhëna  dhe  .
Zgjidhje ushtrimi 13: Jepen dy plane prerëse  dhe  . Shënojmë  d   . Jepet pika
C në hapësirë. Po pranojmë që C  dhe C  . Atëherë  C d    .
Analizë. Supozojmë se ekziston një plan  që përmban edhe pikën C edhe është pingul me dy
planet prerëse të dhëna  dhe  . Meqënëse   dhe  d  , atëherë  d  . Meqënëse
  dhe  d  , atëherë  d  .
Pra plani  përmban pikën C dhe është pingul me prerjen  d të planeve  dhe  .
Ndërtim. Ndërtojmë planin  që përmban pikën C dhe është pingul me  d .për këtë,
ndërtojmë planin  që përmban pikën C dhe drejtëzën  d ; meqënëse  C d , atëherë ato
caktojnë një plan. Në planin  ndërtojmë    CD d , ku  D d . Në planin  ndërtojmë
   DE d . Në planin  ndërtojmë    DF d . Drejtëzat  DE dhe  DF janë prerëse,
prandaj caktojnë planin  . Plani  është plani i kërkuar.
Fig. 38.
Vërtetim. Plani  përmban drejtëzat prerëse  DE dhe  DF . Nga ndërtimi,    DE d dhe
   DF d , atëherë  d  . Nga ndërtimi,    CD d , atëherë  d  . Pra plani 
përmban edhe pikën C .
Meqënëse  d  dhe  d  , atëherë   .
Meqënëse  d  dhe  d  , atëherë   .
Diskutim. Dime që nga një pikë C mund të ndërtohet një plan i vetëm  d  . Dhe ky është
pingul me secilin prej planeve  dhe  . Pra, problemi ka një zgjidhje të vetme.

Problema ndërtimi
14
Ushtrime të pazgjidhura
Po japim një listë ushtrimesh të pazgjidhura të cilat i lihen lexuesit t’i zgjidhë në punë të
pavarur.
1. Jepen në hapësirë një drejtëz  a dhe dy pika të ndryshme B dhe C që nuk ndodhen në
këtë drejtëz. Nëpër pikat e dhëna sa plane të dalluar me drejtëzën e dhënë mund të ndërtoni?
2. Një drejtëz  a është paralele me një plan  . Në planin  jepet një pikë B . Të ndërtohet
nëpër pikën B një drejtëz  b paralele me drejtëzën  a .
3. Jepen në hapësirë dy drejtëza të ndryshme paralele me njëra – tjetrën  a dhe  b , dhe
drejtëza  c e kithët me to.
a. Ndërtoni nëpër drejtëzën  c një plan  paralel me dy drejtëzat e tjera.
b. Ndërtoni nëpër drejtëzën  a një plan  paralel me dy drejtëzat e tjera.
4. Jepen dy drejtëza të ndryshme paralele dhe një pikë A në hapësirë. A mund të ndërtohet
nëpër pikën A një plan paralel me planin e përcaktuar nga këto dy drejtëza?
5. Jepen në hapësirë dy drejtëza    ,a b të ndryshme paralele dhe një drejtëz  c e kithët me
to. A mund të ndërtohet nëpër drejtëzën  c një plan paralel me planin e përcaktuar nga
drejtëzar    ,a b ? (Të dallohen të gjitha rastet e mundshme)
6. Pikat A dhe B ndodhen përkatësisht në planet prerëse  dhe  , por nuk ndodhen në
drejtëzën e prerjes së tyre  c . Nëpër pikat A dhe B të ndërtohet plani  që të jetë paralel
me drejtëzën  c .
7. Jepen dy drejtëza të kithëta    ,a b . Te ndërtohen planet paralele ndërmjet tyre  dhe 
që përmbajnë përkatësisht drejtëzat  a dhe  b .
8. Është dhënë plani  , drejtëza  a e cila pret planin  dhe pika A që nuk ndodhet në
planin  . Ndërtoni nëpër pikën A një drejtëz  b që të jetë paralele me planin  dhe të
presë drejtëzën  a .
9. Jepet dyfaqëshi  , ,d  dhe pika D që ndodhet në brinjën  d të tij. Gjysmëdrejtëza
[ )DA ndodhet në faqen  të dyfaqëshit dhe nuk është pingule me brinjën  d të tij.
Ndërtoni gjysmëdrejtëzën [ )DB në faqen  të dyfaqëshit që të jetë pingule me  DA .

�ݺ�ߣ

Problema ndertimi - Hysen Doko

More Related Content

Problema ndertimi - Hysen Doko