Trekendeshi Hysen Doko
- 1. DETYR KURSI L谷nda: Thellime n谷 gjeometrin谷 elementare. Universiteti i Vlor谷s Ismail Qemali Fakulteti i shkencave Teknike
- 2. Tema: Trek谷nd谷shi Universiteti i Vlor谷s Ismail Qemali Fakulteti i shkencave Teknike
- 3. Koncepte dhe p谷rkufizime Trek谷nd谷shi me kulme , , sh谷noh谷t simbolikisht me . Brinj谷t p谷rball谷 kulmeve p谷rkat谷s sh谷nohen me a, b, c. Vektor谷t korrespondues t谷 brinj谷ve sh谷nohen , , . Ka vend barazimi vektorial: + = . Kan谷 vend mosbarazimet: < + , < + , < + K谷ndet e brendsh谷m t谷 trek谷nd谷shit sh谷nohen me , , .
- 4. Teorema e Kosinusit Meq谷 kemi t谷 v谷rtet谷 + = mund t谷 shkruajm谷 prodhimin skalar t谷 dy vektor谷ve vet谷m n谷 termat e gjat谷sive t谷 brinj谷ve t谷 trek谷nd谷shit: = + = ( + ) Nga ku p谷rftojm谷 mas谷n e k谷ndit n谷 kulim A: = + Kjo 谷sht谷 Teorema e Kosinusit.
- 5. Pohime Pohim 1. Nj谷 trek谷nd谷sh 谷sht谷 dybrinj谷sh谷m at谷her谷 dhe vet谷m at谷her谷 kur dy prej k谷ndeve t谷 tij t谷 brend谷sh谷m kan谷 mas谷 t谷 barabart谷. Pohim 2. Nj谷 trek谷nd谷sh 谷sht谷 barabrinj谷s at谷hr谷 dhe vet谷m at谷her谷 kur t谷 tre k谷ndet e tij t谷 brend谷sh谷m kan谷 masa t谷 barabarta.
- 6. Masa e k谷ndeve t谷 brendsh谷m Teorem谷 (Shuma e k谷ndeve t谷 nj谷 trek谷nd谷shi). N谷se , dhe jan谷 tre k谷nde t谷 brendshme t谷 nj谷 trek谷nd谷shi at谷her谷 + + = . Teorem谷: Shuma e k谷ndeve t谷 brendshme t谷 nj谷 shum谷k谷nd谷shi t谷 mys谷t me n-k谷nde 谷sht谷 ( ) .
- 7. Teorema e Pitagor谷s K谷ndi i brendsh谷m 谷sht谷 k谷nd i dr谷jt谷 at谷her谷 dhe vet谷m at谷her谷 kur + = . Nj谷 v谷rtetim gjeometrik i teorem谷s s谷 Pitagor谷s b谷het duke llogaritur siperfaqen e nj谷 katrori me brinj谷 (a+b) dhe duke e ndar谷 at谷 n谷 dy m谷nyra t谷 ndryshme si n谷 figur谷. Mendohet se ky 谷sht谷 nj谷 v谷rtetim q谷 Babilonasit e kan谷 ditur q谷 prej viteve 1900-1600 p.e.s., shum谷 koh谷 m谷 par谷 n谷 krahasim me Pitagorian谷t (570-480).
- 8. Treshja Pitagoriane Treshja (, , ) e numrave natyror谷 谷sht谷 quajtur treshe Pitagoriane n谷 qoft谷 se + = . sht谷 e qart谷 se edhe treshja e form谷s (, , ) p谷r 谷sht谷 Pitagoriane. Treshja (, , ) quhet treshe e thjesht谷 Pitagoriane n谷se numrat , , jan谷 t谷 thjesht谷 midis tyre. P谷r t谷 p谷rftuar numra Pitagorian谷 mjafton < t谷 jen谷 dy numra natyror谷 jo t谷 dy tek, dhe numrat Pitagorian谷 t谷 p谷rftuar jan谷: = , = , = +
- 9. Teoremat e Euklidit Teorema e Kateteve: N谷 nj谷 trek谷nd谷sh k谷nddrejt谷: = = , = = Teorema e Lart谷sis谷: N谷 nj谷 trek谷nd谷sh k谷nddrejt谷: =
- 10. Kongruenca e trek谷nd谷shave Teorem谷: Dy trek谷nd谷sha n谷 plan me gjat谷si brin谷sh , , dhe , , jan谷 kongruent谷 n谷se = , dhe = , = . Teorem谷: (Teorema e kongruenc谷s p谷r trek谷nd谷shat). Dy trek谷nd谷sha jan谷 kongruent谷 n谷se kan谷 t谷 nj谷jta: 1. Gjat谷sit谷 e tre brinj谷ve (rasti BBB). 2. Gjat谷sin谷 e dy brinj谷ve dhe k谷ndin e p谷rfshir谷 midis tyre (rasti BKB). 3. Gjat谷sin谷 e dy brinj谷ve dhe k谷ndin q谷 ndodhet p谷rball谷 brinj谷s me gjat谷si m谷 t谷 madhe. 4. Dy k谷nde dhe brinj谷n e p谷rfshir谷 midis tyre (rasti KBK).
- 11. Ngjashm谷ria e trek谷nd谷shave Teorem谷: Dy trek谷nd谷sha n谷 plan me gjat谷si brin谷sh , , dhe , , jan谷 t谷 ngjash谷m kur plot谷sohet relacioni: = , = , = . Teorem谷: (Teorema e ngjashm谷ris谷 p谷r trek谷nd谷shat). Dy trek谷nd谷sha jan谷 t谷 ngjash谷m n谷se plot谷sohen kushtet e m谷poshtme: 1. Raporti i brinj谷ve p谷rkat谷se t谷 jet谷 i barabart谷. (rasti BBB). 2. Raporti i dy brinj谷ve dhe k谷ndin nd谷rmjet tyre t谷 jet谷 i barabart谷. (rasti BKB). 3. Raporti i dy brinj谷ve dhe k谷ndi p谷rball谷 brinj谷s m谷 t谷 madhe t谷 jen谷 t谷 barabart谷. 4. Dy k谷nde t谷 barabart谷 dhe brinj谷 midis tyre t谷 p谷rpjesshme. (rasti KBK).
- 12. Teorema e Menelausit Konsiderojm谷 nj谷 trek谷nd谷sh me kulme , , . 1. N谷se 谷sht谷 nj谷 vij谷 e cila nuk kalon p谷rgjat谷 kulmeve t谷 trek谷nd谷shit dhe pret zgjatimet e brinj谷ve t谷 trek谷nd谷shit n谷 tre pika , , , at谷her谷 raporti p谷rpjestimor 巽on n谷 relacionin: (*) = 2. N谷se , , jane tre pika n谷 AB, BC dhe AC q谷 k谷naqin relacionin (*), at谷here ato jan谷 kolineare.
- 13. Teorema Ceva Le t谷 jet谷 (, , ) nj谷 trek谷nd谷sh. Le t谷 jet谷 nj谷 pik谷 e brendshme ose e jashtme e trek谷nd谷shit, dhe supozojm谷 se vijat e m谷poshtme priten n谷 tre pika , , : , , = , , , = , , , = . At谷her谷 = () Anasjelltas, le t谷 na jen谷 dh谷n谷 tre pika , , n谷 , , (, )dhe (, ) q谷 plot谷sojn谷 relacionin (). At谷her谷 secila prej transversaleve t谷 k谷ndeve , , (, ) dhe (, ) jan谷 paralele ose priten n谷 nj谷 pik谷 t谷 p谷rbashk谷t P.
- 14. Vijat speciale t谷 trek谷nd谷shit Nga Teorema Ceva dhe e anasjellta e saj mund t谷 p谷rftojm谷 nj谷 seri rezultatesh t谷 njohura p谷r pikat e prerjes n谷 nj谷 trek谷nd谷sh.
- 15. Teorema e Ortoqendr谷s Tre lart谷sit谷 e trek谷nd谷shit priten n谷 nj谷 pik谷 e cila quhet ortoqendra e trek谷nd谷shit.
- 16. Teorema e mesoreve Tre mesoret e trek谷nd谷shit priten n谷 nj谷 pik谷 . Kjo pik谷 ndan 巽do mesore n谷 raportin : . Pika quhet qendra e trek谷nd谷shit.
- 17. Teorema e p谷rgjysmores s谷 k谷ndit T谷 treja p谷rgjysmoret e k谷ndeve t谷 brendshme t谷 nj谷 trek谷nd谷shi priten n谷 nj谷 pik谷 倹.
- 18. Rrethi i brendashkruar trek谷nd谷shit N谷se 倹 谷sht谷 pika e prerjes s谷 p谷rgjysmoreve t谷 k谷ndeve n谷 nj谷 trek谷nd谷sh, at谷her谷: 倹, = 倹, = (倹, ) Pra pika 倹 谷sht谷 qendra e rrethit t谷 brendashkruar trek谷nd谷shit.
- 19. Teorema e p谷rmesoreve Tre p谷rmesoret e trek谷nd谷shit priten n谷 nj谷 pik谷 . P谷r k谷t谷 pik谷 kemi q谷: , = , = ( , ) Prandaj rrethi me qend谷r dhe rreze , kalon p谷rgjat谷 tre kulmeve t谷 trek谷nd谷shit. Ai 谷sht谷 quajtur rrethi i jasht谷shkruar trek谷nd谷shit dhe 谷sht谷 qendra e tij.
- 20. Trek谷nd谷shi i mes谷m Konsiderojm谷 trek谷nd谷shin (, , ). Trek谷nd谷shi, kulmet e t谷 cilit jan谷 pikat e mesit t谷 brinj谷ve t谷 trek谷nd谷shit , , , p谷rkat谷sisht , , dhe q谷 i brendashkruhet trek谷nd谷shit , , dhe ka brinj谷t sa gjysma e tij, quhet trek谷nd谷sh i mes谷m.
- 21. Drejt谷za e Eulerit Pikat , dhe t谷 nj谷 trek谷nd谷shi jo-barabrinj谷s jan谷 kolineare. Ato ndahen n谷 raportin: : = :
- 22. Sip谷rfaqja e trek谷nd谷shit P谷r t谷 p谷rftuar sip谷rfaqen e trek谷nd谷shit me brinj谷 , , nisemi nga sip谷rfaqja e drejtk谷nd谷shit t谷 cil谷n e njohim si prodhim i dy p谷rmasave t谷 tij. Meq谷n谷se nga 巽do trek谷nd谷sh mund t谷 nd谷rtojm谷 nj谷 paralelogram, sip谷rfaqen e t谷 cilit e njohim, marrim sip谷rfaqen e trek谷nd谷shit si gjysma e sip谷rfaqes s谷 paralelogramit: = = =
- 23. Mesoret e brinj谷ve t谷 trek谷nd谷shit jan谷 gjithashtu dhe p谷rgjysmuese t谷 sip谷rfaqeve. K谷shtuq谷 raportin mund ta shprehim me an谷 t谷 sinusit t谷 k谷ndit , dhe n谷 m谷nyr谷 t谷 ngjashme p谷r lart谷sit谷 e tjera. K谷shtu q谷 sip谷rfaqja e trek谷nd谷shit mund t谷 shkruhet n谷 m谷nyr谷 ekuivalente edhe si: = = =
- 24. Teorema e Sinusit Nga relacioni i m谷sip谷rm duke pjes谷tuar me rrjedh : = = I cili njihet me emrin Teorema e Sinusit.
- 25. Formula e Heronit Duke zvend谷suar ++ = , ku 谷sht谷 gjysm谷perimetri i trek谷nd谷shit, shprehim sip谷rfaqen e trek谷nd谷shit me an谷 t谷 formul谷s s谷 Heronit: = ( )( )( )
- 26. Lart谷sit谷 e trek谷nd谷shit Nga formula e sip谷rfaqes = = = Mund t谷 llogarisim lart谷sit谷 e trek谷nd谷shit n谷 termat e gjat谷sive t谷 brinj谷ve: = () , = () , = ()
- 27. Teorem谷: Sip谷rfaqja e trek谷nd谷shit me brinj谷 , , plot谷son mosbarazimin: + + Barazimi arrihet vet谷m at谷her谷 kur trek谷nd谷shi 谷sht谷 barabrinj谷s. Konkluzion: Nd谷r t谷 gjith谷 trek谷nd谷shat me perimet谷r t谷 dh谷n谷, trek谷nd谷shi barabrinj谷s ka sip谷rfaqen m谷 t谷 madhe.
- 28. Rrethi i brendashkruar trek谷nd谷shit Qendra e rrethit t谷 brendashkruar trek谷nd谷shit ndodhet n谷 pik谷prerjen 倹 t谷 p谷rgjysmoreve. Shenojm谷 me rrezen dhe ndajm谷 (, , ) n谷 tre trek谷nd谷sha t谷 vegj谷l si n谷 figur谷 dhe llogaritim sip谷rfaqen e cila 谷sht谷: = + + = + + = ku 谷sht谷 gjys谷mperimetri i tij.
- 29. Rrezja e rrethit t谷 brendashkruar Teorem谷: Rrezja e rrethit t谷 brendashkruar trek谷nd谷shit 谷sht谷 e barabart谷 me raportin e sip谷rfaqes s谷 trek谷nd谷shit gje gjys谷mperimetrit t谷 tij. = () = ( )( )( )
- 30. Rrezja e rrethit t谷 jasht谷shkruar Teorem谷: Rrezja e rrethit t谷 jasht谷shkrurar trek谷d谷shit 谷sht谷 e barabart谷 me raportin e prodhimit t谷 tre brinj谷ve me kat谷rfishin e sip谷rfaqes. = ()
- 31. Rrethi i jasht谷m i trek谷nd谷shit Teorem谷: P谷rgjysmorja e nj谷 k谷ndi t谷 brendsh谷m dhe dy k谷ndeve t谷 jasht谷m q谷 nuk i bashkangjiten atij n谷 trek谷nd谷sh priten n谷 nj谷 pik谷. Kjo pik谷 谷sht谷 qendra e rrethit q谷 takon nj谷r谷n brinjt谷 t谷 trek谷nd谷shit dhe zgjatimet e dy brinj谷ve t谷 tjera. Rrezja e rrethit t谷 jasht谷m t谷 trek谷nd谷shit n谷 lidhje me brinj谷n korresponduese t谷 trek谷nd谷shit 谷sht谷: = () , = () , = ()
- 32. Konkluzion: Le t谷 jet谷 rrezja e rrethit t谷 brendashkruar trek谷nd谷shit dhe , , p谷rkat谷sisht rrezet e rrath谷ve t谷 jasht谷m t谷 trek谷nd谷shit. At谷her谷: = () , + + =
- 33. Punoi: Pranoi: Hysen Doko DR. Orgest Zaka