2. План
1. Нормальний закон розподілу. Графіки до нормального
закону розподілу.
1.1 Приклади
2. Визначення медіани, асиметрії і ексцесу.
2.1 Приклади
3. Правило “трьох сигм”
3.1 Приклади
3. e
a
x
x
x
f 2
2
2
)
(
2
1
)
(
a
Випадковою величиною Х називають розподіл
нормальних з параметрів і якщо щільність його
ймовірності має вигляд:
1. Нормальний закон розподілу. Графіки до
нормального закону розподілу.
4. Функція нормального закону розподілу:
N ( а : σ )
a – математичне сподівання
σ – середнє квадратичне відхилення
dz
x
x
F
x a
x
e
2
2
2
)
(
2
1
)
(
7. Приклади
1. Випадкові похибки вимірювання підпорядковані нормальному
закону. Систематична похибка вимірювального приладу = 0 , а середнє
квадратичне відхилення похибки – 0,05 мм. Знайти ймовірність того,
що ця похибка за абсолютною величиною буде меншою 0,15 мм.
Розв'язання:
У рівності покладемо
a = 0 (систематична похибка, тобто математичне
сподівання випадкових похибок = 0) ,
)
(
2
)
(
Ф
a
X
P
15
,
0
05
,
0
9973
,
0
49865
,
0
2
)
3
(
2
)
05
,
0
15
,
0
(
2
)
15
,
0
(
Ф
Ф
X
P
Таким чином, ймовірність того, що
випадкова похибка вимірювання за
абсолютною величиною буде менша
0,15 мм = 0,9973
8. 2. Випадкова величина X розподілена за нормальним законом, її
математичне сподівання = 30, а середнє квадратичне відхилення –
10. Знайти ймовірність того, що Х матиме значення з інтервалу
( 10 ; 50 )
Розв'язання:
Згідно умови , , тому за формулою
одержимо:
10
30
a
9544
,
0
4772
,
0
2
)
2
(
2
)
10
30
10
(
)
10
30
50
(
)
50
10
(
Ф
Ф
Ф
X
P
Тут використано властивості непарності
інтегральної функції Лапласа Ф ( - х ) = - Ф ( х )
та значення Ф ( 2 ) з таблиці значень цієї функції
9. 2. Визначення медіани, асиметрії й ексцесу.
Медіаною називається значення, для якого виконується
рівність:
P (-∞ < X < Me ) = P (Me < X < - ∞ )
За формулою:
P ( α < x < β ) = F ( β ) – F (α )
F ( Me ) – F (-∞ ) = F ( ∞ ) – F ( Me ) = F ( Me ) + F ( Me ) = F ( ∞ ) + F ( ∞ ) = 1
2 F ( Me ) = 1
F ( Me ) = ½
Для нормального розподілу ВВ: Me = а
10. Асиметрія ( As ) – це відношення центрального моменту третього порядку
до кубу середнього квадратичного відхилення.
As =
- центральний елемент третього порядку
3
3
3
dx
x
f
x
M
x ))
(
)
(
( 3
3
Для нормального розподілу ВВ: = 0
3
11. Ексцесом ( Es ) теоретичного розподілу називають
характеристику, що обчислюється за наступною формулою:
,
3
4
4
Es
Es=0
)
:
(
a
N
12. Приклади
X 1 2 3 4 5
p 0,10 0,25 0,40 0,15 0,10
Дано розподіл деякої неперервної випадкової величини:
1
5
1
і
і
p
Знайти асиметрію та ексцес розподілу.
16. 3. Правило “трьох сигм”
Якщо абсолютна величина відхилення ВВ від її
математичного сподівання не перевищує потрійного
середньоквадратичного відхилення, то є підстави вважати, що
ВВ розподілена за термальним законом, в іншому випадку ВВ
не розподілена нормально.
1
49865
,
0
2
)
3
(
2
)
3
(
2
)
3
(
Ф
Ф
a
x
P
18. Приклади
Нормально розподілена випадкова величина має параметри
розподілу: , . Вказати інтервал відхилення випадкової
величини від математичного сподівання, якщо ймовірність попадання
в ці межі складає 0, 9973.
100
a 10
Розв'язання:
Для заданої ймовірності відхилення не
перевищує трьох сигм, тому інтервал буде:
30
100
10
3
100
