More Related Content
What's hot (20)
Similar to Частинні похідні функції двох змінних (20)
More from Oksana Bryk (18)
Recently uploaded (13)
Частинні похідні функції двох змінних
- 2. Зміст 1. Частинні похідні. Приклади використання частинних похідних. 2. Градієнт. Приклад використання градієнта. 3. Похідна за напрямом. Приклад використання похідної.
- 3. Частинною (частковою) похідною від функції f(x,y) за аргументом x називається границя Частинну (часткова) похідну від функції f(x,y) за аргументом y визначають аналогічно. Для частинних похідних від функції f(x,y) використовують такі позначення : f′x(x,y); z′x; ; f′y(x,y); z′y; . Частинні похідні та задають напрями дотичних до поверхні z = f(x,y). Варто пригадати, що звичайна похідна f′(x) = задає напрям дотичної до кривої y = f(x). ( ) dx yxfyxxf x xyxf ),(),( 0 lim, −∆+ →∆ =′ x f x z ∂ ∂ ∂ ∂ ; y f y z ∂ ∂ ∂ ∂ ; x z ∂ ∂ y z ∂ ∂ dx df
- 4. Приклади 1. Нехай Тоді 2. Нехай Q=K0.6 ⋅L0.4 . Знайдемо відповідні частинні похідні (Випуск продукції зростає зі збільшенням затрат як капіталу, так і праці). 22 324 yxyxz ++= yx y z yx x z 6228 += ∂ ∂ += ∂ ∂ 06.06.06.0 4.0 4.0 4.04.0 >==⋅⋅= ∂ ∂ − K Q K L LK K Q 04.04.04.0 6.0 6.0 6.06.0 >==⋅⋅= ∂ ∂ − L Q L K LK L Q
- 5. Градієнт Градієнт — векторна величина, яка визначає в кожній точці простору не лише швидкість зміни, а й напрямок найшвидшої зміни функції, що залежить від координат. Для скалярного поля градієнт визначається формулою: де i, j, k - орти системи відліку. Це означення узагальнюється на простори будь-якої розмірності
- 6. Приклад Градієнт скалярного поля Градієнт скалярного поля (рос. градиент скалярного поля, англ. gradient of scalar field, нім. Skalarfeld- Gradient m) – вектор, проекціями якого на координатні осі є частинні похідні функції, яка описує дане поле. Практичне тлумачення полягає в тому, що він визначає напрям, у якому задане скалярне поле змінюється найшвидше.
- 7. Похідна за напрямом Для характеристики зміни скалярного поля в заданому напрямі вводять поняття похідної за напрямом. Виведемо формулу для обчислення похідної за напрямом. Припустимо , що функція u(x;y;z) диференційована в точці M. Тоді її повний приріст в цій точці можна записати так: де нескінченно малі функції при то zyxz z u y y u x x u ul ∆+∆+∆+∆ ∂ ∂ +∆ ∂ ∂ +∆ ∂ ∂ =∆ 32 εεε 321 ,, εεε 0→∆l γεβεαεγβα coscoscoscoscoscos 321 +++ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∆ ∆ z u y u x u l ul
- 8. Перейшовши до границі при ,дістанемо формулу для обчислення похідної за напрямом З формули випливає, що частинні похідні є окремими випадками похідної за напрямом. 0→∆l γβα coscoscos z u y u x u l u ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂
- 9. Приклад Знайти похідну функції в точці A(1;2;-1) за напрямом від точки А до точки B(2;4;-3). З'ясувати характер зміни поля в даному напрямі. Знаходимо вектор і його напрямні косинуси: Тепер обчислимо значення частинних похідних в точці А: Оскільки , то задана функція в даному напрямі зростає. 22 2 yxzxu +−= → = ABl 3 2 cos, 3 2 cos, 3 1 cos,22 −===−+= λβαkjil ( ) 3 16 ) 3 2 (2 3 2 4 3 1 4;22;2;422 =−⋅−⋅+⋅= ∂ ∂ −=−= ∂ ∂ = ∂ ∂ =−= ∂ ∂ A A A A A A A l u x z u y y u zx x u 0〉 ∂ ∂ l u
- 10. Приклад Знайти похідну функції в точці A(1;2;-1) за напрямом від точки А до точки B(2;4;-3). З'ясувати характер зміни поля в даному напрямі. Знаходимо вектор і його напрямні косинуси: Тепер обчислимо значення частинних похідних в точці А: Оскільки , то задана функція в даному напрямі зростає. 22 2 yxzxu +−= → = ABl 3 2 cos, 3 2 cos, 3 1 cos,22 −===−+= λβαkjil ( ) 3 16 ) 3 2 (2 3 2 4 3 1 4;22;2;422 =−⋅−⋅+⋅= ∂ ∂ −=−= ∂ ∂ = ∂ ∂ =−= ∂ ∂ A A A A A A A l u x z u y y u zx x u 0〉 ∂ ∂ l u