�ݺ�ߣ

FUNGSI HAMILTON
Persamaan Hamilton untuk gerak juga dinamakan persamaan kanonik gerak.
Pandanglah sebuah fungsi dari koordinat rampatan
 
k
kk LpqH  (1)
Untuk sebuah sistem dinamik sederhana, energi kinetik sistem adalah fungsi kuadrat dari q
dan energi potensialnya merupakan fungsi q saja :
)q(V)q,q(TL kkk   (2)
Berdasarkan teorema Euler untuk fungsi homogen, diperoleh
 






k k
k
k k
k
k
kk T2
q
T
q
q
L
qLpq



 (3)
Oleh karena itu :
 
k
kk VT)VT(T2LpqH  (4)
Persamaan ini tak lain adalah energi total dari sistem yang kita tinjau. Selanjutnya, pandang n
buah persamaan yang ditulis sebagai :
k
k
q
L
p


 (k = 1,2, …n) (5)
dan nyatakan dalam qdalam p dan q
)q,p(qq kkkk
  (6)
Dengan persamaan di atas, kita dapat nyatakan fungsi H yang bersesuaian dengan variasi
kk q,p  sebagai berikut :
 












k
k
k
k
k
kkkk q
q
L
q
q
L
pqqpH 

 (7)
Suku pertama dan suku kedua yang ada dalam tanda kurung saling meniadakan, oleh karena
menurut defenisi kk q/Lp  , oleh karena itu:

  
k
kkk qppqH  (8)
Variasi fungsi H selanjutnya dapat dinyatakan dalam persamaan berikut :
 












k
k
k
k
k
q
q
H
p
p
H
H (9)
Akhirnya diperoleh :
Dua persamaan terakhir ini dikenal dengan persamaan kanonik Hamilton untuk gerak.
Persamaan-persamaan ini terdiri dari 2n persamaan defernsial orde-1 (bandingkan dengan
persamaan Lagrange yang mengandung n persamaan diferensial orde-2. Persamaan Hamilton
banyak dipakai dalam mekanika kuantum (teori dasar gejala atomik).
Contoh pemakaian.
1. Gunakan persamaan Hamilton untuk mencari persamaan gerak osilator harmonik satu
dimensi.
Jawab : Energi kinetik dan energi potensial sistem dapat dinyatakan sebagai :
2
xm
2
1
T  dan 2
Kx
2
1
V  (13)
Momentumnya dapat ditulis
xm
x
T
p 




 atau
m
p
x  (14)
Hamiltoniannya dapat ditulis :
k
k
q
p
H



(11)
k
k
p
q
H



(12)

22
x
2
K
p
m2
1
VTH  (15)
Persamaan geraknya adalah :
x
p
H



p
x
H



(16)
dan diperoleh :
x
m
p
 pKx 
Persamaan pertama menyatakan hubungan momentum-kecepatan. Dengan menggunakan
kedua persamaan di atas, dapat kita tulis :
0Kxxm  (17)
yang tak lain adalah persamaan osilator harmonik.
2. Gunakan persamaan Hamilton untuk mencari persamaan gerak benda yang berada di
bawah pengaruh medan sentral.
Jawab : Energi kinetik dan energi potensial sistem dapat dinyatakan dalam koordinat polar
sebagai berikut:
)rr(
2
m
T 222
  dan V=V(r) (18)
Jadi :
rm
r
T
pr






m
p
r r
 (19)






2
mr
T
p 2
mr
p
 (20)
Akibatnya :
)r(V)
r
p
p(
m2
1
H 2
2
2
r  
(21)
Persamaan Hamiltoniannya:

r
p
H
r



, rp
r
H



, 




p
H
, 


p
H
(22)
Selanjutnya:
r
m
pr
 (23)
r3
2
p
mr
p
r
)r(V


 
(24)
 
2
mr
p
(25)
0p   (26)
Dua persamaan yang terakhir menunjukkan bahwa momentum sudut tetap,
2
p kons tan mr mh    & (27)
Sedangkan dua persamaan sebelumnya memberikan,
r
)r(V
r
mh
prm 3
2
r


  (28)
untuk persamaan gerak dalam arah radial.
H. PERSAMAAN LAGRANGEUNTUK GERAK DALAM MEDAN ELEKTROMAGNETIK
Salah satu masalah penting dalam persoalan mekanika adalah gerak zarah bermuatan
dalam medan elektromagnetik. Hal itu dibahas dalam bab ini, khususnya cara penyelesaiannya
dengan metode Lagrange.
Medan elektromagnetik mempunyai potensial yang bergantung dari kecepatan zarah.
Oleh karena itu perlu dilakukan penanganan terlebih dahulu terhadap bentuk matematika
fungsi potensial itu, sehingga kemudian metode Lagrange dapat diterapkan.

Suatu zarah dengan massa m dan muatan q yang bergerak dalam medan listrik E dan
medan magnet berinduksi magnet B, dipengaruhi geraknya oleh gaya :
F = q E + q v x B (29)
Dalam ungkapan itu v merupakan kecepatan zarah.
Komponen gaya itu dalam arah X berbentuk:
 yzxx BzByqEqF   (30)
Menurut teori elektromagnet, fungsi potensial suatu medan elektromagnet terdiri dari
dua bagian berikut :
Potensial skalar Ф dan potensial vektor A
Masing-masing besaran itu berkait dengan kuat medan E dan induksi magnetik B melalui
hubungan :
t
A
E



AB  (31)
Jika medan tak bergantung waktu, maka :
ABdanE  (32)
Medan E tidak terkait dengan B.
Perhatikanlah suatu fungsi U yang diungkapkan sebagai :
 )t,r(Avq)t,r(qU  (33)
Fungsi ini tak lain adalah fungsi potensial suatu zarah bermuatan dalam suatu medan
elektromagnetik. Fungsi U tersebut dapat ditulis sebagai :
 zyx AzAyAxqqU   (34)
Perkalikanlah sekarang bagaimana bentuk fungsi













x
U
dt
d
x
U

(35)
Yang diperoleh dengan mendiferensiasi persamaan (127) ke x, ke x, dan kemudian ke t. Dua
yang pertama secara parsial.
Diferensiasi U secara parsial ke x, memberikan :





















x
A
z
x
A
y
x
A
xq
x
q
x
U zyx
 (36)
Diferensiasi U secara parsial ke x, memberikan :
xAq
x
U




(37)
Diferensiasi persamaan i ke t, menghasilkan :



























z
z
A
y
y
A
x
x
A
t
A
q
x
U
t
U xxxx


(38)
Sehingga bentuk persamaan 128 menjadi :
 
x
yzx
xzxyx
F
BzByqEq
z
A
x
A
z
y
A
x
A
yq
t
A
x
q
x
U
dt
d
x
U



























































Oleh karena itu :
  xyzx FBzByqqE
x
U
tx
U













  (39)
Dengan
zyx EÊÊÊ kji  adalah kuat medan listrik
zyx BˆBˆBˆB kji  adalah induksi magnetik

Persamaan 132 yang merupakan fungsi potensial untuk zarah yang bermuatan dalam sebuah
medan elektromagnetik, merupakan fungsi dari kedudukan dan kecepatan.
Seperti pembahasan-pembahasan sebelumnya fungsi Lagrange senantiasa menganggap
bahwa fungsi potensial V hanya bergantung pada kedudukan saja yakni :
V = V (q1, q2, .......... q3N) (40)
Pertanyaan kita adalah apakah mungkin persamaan Lagrange dapat diterapkan dalam
persoalan gerak zarah bermuatan listrik ?
Andaikan bahwa gaya-gaya rampatan Qk yang bekerja pada suatu sistem mekanika agar
dapat diturunkan dari suatu fungsi potensial skalar U yang bergantung dari kecepatan. Jika
hubungan antara Qk dan potensial U dinyatakan oleh














kk
k
q
U
tq
U
Q

(41)
dan fungsi Lagrange untuk sistem ini dinyatakan oleh :
L = T – U (42)
Berdasar pada pembahasan-pembahasan sebelumnya, hubungan antara T, Qk, qk, dan
kq dapat dinyatakan dengan


















k
k
k q
T
Q
q
U
t 
(43)
Substitusi 134 ke dalam 136 menghasilkan :



































kkkk q
T
q
U
dt
d
q
U
q
T
t 
(44)
dan dapat ditulis juga dalam bentuk lain
0
q
U
q
T
q
U
q
T
dt
d
kkkk























(45)
Apabila definisi umum fungsi Lagrange digunakan maka akan diperoleh :
0
q
L
q
T
dt
d
kk












(46)

Berdasarkan pembahasan di atas dapat diambil suatu kesimpulan bahwa, jika U merupakan
fungsi potensial skalar yang bergantung pada kecepatan zarah v yang ditandai oleh hubungan
gaya rampatan














kk
k
q
U
tq
U
Q

(47)
maka persaman Lagrange untuk sistem mekanika yang dikuasai oleh U memiliki bentuk
0
q
L
q
T
dt
d
kk












(48)
dengan fungsi Lagrange L = T - U
Untuk memecahkan persoalan apakah fungsi Lagrange di atas dapat dipergunakan untuk
menyelesaikan persamaan gerak zarah dalam medan elektromegnetik, tinjaulah sebuah fungsi
potensial sebagaimana persamaan 127 seperti berikut:
 zyx AzAyAxqqU  
Untuk komponen gaya ke arah x berlaku :














x
U
tx
U
Fx

(49)
Dengan penalaran yang sama, juga dapat dilakukan untuk komponen Fy dan Fz. Jadi dengan
demikian fungsi Lagrange yang dimaksud dalam hal ini adalah :
t)q,(t),(q-M
2
1
L rAvrvv  (50)
dimana m dan q masing-masing adalah massa dan muatan zarah, v adalah kecepatan zarah,
dan Ф (r,t) serta A(r,t) masing-masing adalah potensial skalar dan potensial vektor medan
elektromagnetik.
Contoh :

1. Tunjukkan bahwa A =  rB 
2
1
merupakan vektor potensial untuk suatu medan
dengan induksi magnetik B.
Jawab :
AA  2
1
        rBBrBrrB  2
1
Diketahui bahwa 3 r . Jadi suku pertama adalah 3B.
 zˆyˆxˆ
z
B
y
B
x
B)( zyx kjiB 













 = B
Sehingga :
  BrBA  22
1
Bila B merupakan medan yang konstan, suku   0 Br dan BA  menurut definisi
A. Jadi untuk medan dengan induksi magnet yang tetap
 rBA  2
1
Misalkan bahwa B = o
ˆBk maka dalam koordinat Cartesius :
  02
1
BrkA 
 yˆxˆB02
1
ijA 
   xBˆyBˆ
02
1
02
1
jiA 
Dalam koordinat silinder :
 rBA  2
1
rB02
1
A
Arah A adalah dalam bidang r tegak lurus pada sumbu –z, dan dapat pula tegak lurus
pada sumbu r sendiri. Jadi dalam arah koordinat φ, sehingga A hanya terdiri dari
komponen Aφ = rB02
1
, Ar = Az = 0.

Gambar 2.8
Hubungan antara arah B dengan r
2. Tunjukkan bahwa jika arah B sama dengan arah sumbu-z, artinya B = B0 kˆ , maka dalam
koordinat silinder berlaku : Ar = 0, Aφ = rBo2
1
dan Az = 0.
Jawab :
3. Tunjukkan bahwa jika arah B sama dengan arah sumbu-z, artinya B = B0 kˆ , maka dalam
koordinat silinder berlaku : Ar = 0, Aφ = rBo2
1
dan Az = 0.
Jawab :
4. Bagaimanakah bentuk potensial skalar Φ dalam koordinat silinder, apabila medan listrik
juga searah dengan sumbu-z. Artinya E = E0 kˆ .
5. Tulislah fungsi Lagrange untuk suatu zarah (massa M dan muatan q) yang bergerak
dalam medan elektromagnetik dengan B = B0 kˆ dan E = E0 kˆ . Gunakan koordinat
silinder.
Jawab :
Sesuai dengan definisi : L = T - V
y
x
z
kB0
r

Fungsi Lagrange L untuk zarah dengan massa M dan mauatn Q dalam medan tersebut :
rBQrzQEzrrmL 02
1
0
2222
2
1
)(   
2
02
1
0
2222
2
1
)( rBQrzQEzrrmL   
6. Besaran fisika mana saja yang merupakan tetapan gerak dalam soal nomor 5 ?
Koordinat siklik dalam fungsi Lagrange di atas adalah φ, sehingga pφ merupakan
tetapan gerak.
Hal tersebut dapat diturunkan dari persamaan Lagrange
0
LL
dt
d












Bila L tidak merupakan fungsi φ, maka

L
= 0, dan oleh karena itu 0
L
dt
d









, yang
berarti bahwa pφ = tetap, atau



L
= pφ = 0
2
2
122
BQrMr   = tetap.
7. Tulis perangkat persamaan Lagrange untuk sistem di atas
Perangkat persamaan Lagrange untuk sistem diatas :
rm
r
L





  rQBmr
r
L
0
2



Dengan demikian :
  rQBMrrm 0
2

2
o
2
rQB
2
1
rM
L





0
L



Diperoleh : tan
2
1 22
konsrQBrm o 
Kemudian :

zm
z
L





oEQ
z
L



Sehingga : oEQzm 
Andaikanlah dicari solusi dengan r tetap, maka diperoleh dari persamaan Lagrange pertama
diatas :
   oBQm 0
0 , atau
m
BQ o

Sedangkan persamaan ketiga memberikan :
tetap
m
EQ
z 
Artinya gerak dipercepat dalam arah z.
Secara skematik solusi dengan
m
BQ o
 diterangkan disamping.
Bagaimanakah lintasan bila diambil 0 ?s

�ݺ�ߣ

Mekanika (fungsi hamilton)

Recommended

More Related Content

What's hot (20)

Viewers also liked (14)

Similar to Mekanika (fungsi hamilton) (20)

Recently uploaded (20)

Mekanika (fungsi hamilton)