More Related Content
What's hot (19)
Viewers also liked (6)
Similar to Mekanika lagrangian (miftah alfi yasin/M0213056) (20)
Recently uploaded (20)
Mekanika lagrangian (miftah alfi yasin/M0213056)
- 1. MEKANIKA LAGRANGIAN Pada bab ini yaitu tentang mekanika lagrangian , hukum dasar yang dipakai adalah hukum newton untuk menganalisis gerak pada sebuah benda. Dengan hukum ini dapat menurunkan persamaan benda. Digunakan hukum ini jika, gaya yang bekerja pada sebuah benda diketahui . namun pada kenyataannya pada banyak kasus, terkadang tidak mudah diselesaikan dengan menggunakan dinamika gerak dan persyaratan awal tersebut. Contohnya, benda bergerak pada pada permukaan berbentuk bola. Pada persoalan yang dihadapi bukan hanya pada bentuk gaya bekerja, tetapi juga pada koordinatnya, baik kartesian maupun koordinat yang lain, hal ini tidak relevan lagidigunakan, sekalipun persamaan gayanya diketahui. PERSAMAAN LAGRANGE Untuk mencari persamaan diferensial gerak sebuah benda dinyatakan dalam korninat rampatan, dapat digunakan persamaan hukum Newton II iii xmF (21) dan selanjutnya kita akan mencoba menyatakan persamaan tersebut dalam q. Pendekatan pertama yang akan kita pakai adalah dari persamaan energi. Kita akan menghitung energi kinetik T dalam bentuk koordinat Kartesian dan selanjutnya kita akan nyatakan dalam koordinat rampatan dan turunannya terhadap waktu. Energi kinetik T dari sebuah sistem yang mengandung N partikel dapat dinyatakan dengan ワ k 1i 2 i 2 i 2 1i2 1 zyxmT ( (22) atau dalam bentuk yang lebih ringkas ditulis sebagai berikut
- 2. ワ N3 1i 2 ii2 1 xmT (23) Hal tersebut , menyatakan hubungan antara kordinat x dan q yang juga mengandung waktu t secara eksplisit, dapat dimisalkan ),,...,,( tqqqxx n21ii (24) selanjutnya t x q q x x i k k i i (25) Dalam pembahasan selanjutnya, kita tetapkan bahwa harga i adalah 1,2, ..3N dimana N menyatakan jumlah partikel dalam sistem, dan harga k adalah 1,2, . .n; dimana n menyatakan jumlah koordinat rampatan (derajat kebebasan) sistem. Oleh karena itu dapat dilihat bahwa energi kinetik sebagai fungsi koordinat rampatan, turunannya terhadap waktu, atau mungkin dalam waktu. Dalam banyak hal, waktu t tidak secara eksplisit terkait hubungan antara xi dan qk, sehingga xi/t = 0. Telah jelas bahwa energi kinetik T merupakan fungsi kuadrat yang homogen dari kecepatan rampatan kq . Dari persamaan k i k i q x q x (26)
- 3. Pada ruas kanan dan kiri dapat dikalikan dengan dengan ix , dan dideferensialkan terhadap t, dan akan diperoleh : 件 э 緒件 э k i i k i i q x x dt d q x x dt d k i i k i i q x x q x x (27) atau 緒 2 x qq x x 2 x qdt d 2 i kk i i 2 i k (28) Selanjutnya dikalikan dengan mi dan digunakan hubungan iii Fxm 緒 , sehingga dapat diperoleh 緒 2 xm qq x F 2 xm qdt d 2 ii kk i i 2 ii k (29) Dilakukan penjumlahan terhadap i , maka akan diperoleh 件 э i kk i i k q T q x F q T dt d (30) Dari definisi gaya rampatan diperoleh
- 4. k k k q T Q q T dt d (31) Persamaan tersebut adalah persamaan diferensial gerak yang dinyatakan dalam koordinat rampatan dan dikenal dengan persamaan Lagrange untuk gerak. Dalam kasus gerakannya adalah konservatif, persamaan Lagrange dapat ditulis sebagai berikut: kkk q V q T q T dt d (32) Persamaan ini biasanya ditulis dalam bentuk yang lebih singkat dengan mendefinisikan fungsi Lagrangian L yakni L = T - V (33) Yang berarti bahwa kita dapat menyatakaan T dan V dalam koordinat rampatan. Oleh karena V = V(qk) dan 0qV k 緒駈 / , kita peroleh kk q T q L dan kkk q V q T q L (34) Persamaan Lagrange dapat ditulis kk q L q L dt d (35)
- 5. CONTOH PEMAKAIAN PERSAMAAN LAGRANGE Berikut ini akan dibahas fungsi dari persamaan Lagrange untuk menyelesaikan masalah-masalah gerak. Prosedur umum yang dipakai untuk mencari persamaan diferensial gerak dari sebuah sistem adalah sebagai berikut: 1. Pilih sebuah kumpulan koordinat untuk menyatakan konfigurasi sistem. 2. Cari energi kinetik T sebagai fungsi koordinat tersebut beserta turunannya terhadap waktu. 3. Jika sistem tersebut konservatif, cari energi potensial V sebagai fungsi koordinatnya, atau jika sistem tersebut tidak konservatif, cari koordinat rampatan Qk. 4. Persamaan deferensial gerak selanjutnya dapat dicari dengan menggunakan persamaan di atas. Berikut adalah contoh penggunaan dari persamaan Lagrange : Osilator Harmonik Pandanglah sebuah osilator harmonik 1-dimensi, dan misalkan padanya bekerja sebuah gaya peredam yang besarnya sebanding dengan kecepatan. Oleh karena itu sistem dapat dipandang tidak konservatif. Jika x menyatakan pergeseran koordinat, maka fungsi Lagrangiannya adalah L = T - V = 2 2 12 2 1 kxxm (38) dimana m adalah massa dan k adalah tetapan kelenturan pegas. Selanjutnya: xm x L dan kx x L (39)
- 6. Oleh karena pada sistem bekerja gaya yang tidak konservatif yang harganya sebanding dengan kecepatan; dalam hal ini Q' = -c x , sehingga persamaan gerak dapat ditulis : )( kxxcxm dt d (40) mx cx kx 0 Ini tak lain adalah persamaan gerak osilator harmonik satu dimensi dengan gaya peredam yang sudah kita kenal.