Artikel Mekanika Lagrangian Feni Fitriyani/M0213034
Download as DOCX, PDF1 like865 views
Artikel ini membahas perbandingan antara mekanika Newton dan mekanika Lagrange. Mekanika Lagrange merupakan pendekatan alternatif untuk menganalisis sistem mekanik dengan cara pandang yang holistik, berfokus pada energi kinetik dan potensial tanpa mempertimbangkan gaya secara langsung.
More Related Content
What's hot (18)
Similar to Artikel Mekanika Lagrangian Feni Fitriyani/M0213034 (20)
Artikel Mekanika Lagrangian Feni Fitriyani/M0213034
- 1. Artikel Mekanika Feni Fitriyani/M0213034 Lagrangian Di SMA, kita mengenal tentang Mekanika Newtonian. Mekanika Newtonian adalah salah satu alat untuk menganalisis gerak suatu sistem. Mekanika Newtonian menghubungkan suatu besaran vektor yang bernama Gaya untuk menganalisis perubahan momentum. Mekanika Newtonian menggunakan 3 Hukum untuk menganalisis gerak sistem. Namun, seringkali (karena gaya adalah besaran vektor) kita kesulitan dalam menggambar arah gaya tersebut, apalagi jika sistemnya rumit dan banyak anak sistemnya. Mekanika Newtonian menjadi rawan kesalahan. Untuk mempermudah analisis, seseorang bernama Joseph Louis Lagrange membuat suatu metode analisis yang menghubungkan perubahan momentum dengan konservasi energi mekanik yang dimiliki sistem. Ada beberapa kondisi dimana kita dapat menggunakan Mekanika Lagrangian (lama), yaitu sistem yang kita amati hanya boleh dipengaruhi oleh gaya konservatif (berarti mempunyai energi potensial). Seperti di Mekanika Newtonian, setelah menggunakan Mekanika Lagrangian, kita akan mendapatkan beberapa set persamaan differensial yang akan digunakan untuk menganalisis gerak sistem tersebut. Mekanika Lagrangian yang lama, digunakan untuk sistem yang dipengaruhi gaya konservatif saja. Namun kemudian Rayleigh mengusulkan memperluas konsepnya supaya bisa menganalisis gaya disipatif juga (misalnya gaya gesek). http://www.forumsains.com/fisika/mekanika-lagrangian/ Untuk dapat membuat perbandingan antara mekanika Newtonian dan mekanika Lagrangian dengan baik, maka perlu dilakukan telisik secara mendasar terhadap cara pandang keduanya. Perbandingan yang baik tidak dapat dicapai hanya dengan menyajikan contoh- contoh penyelesaian atas kasus fisis yang sama yang coba diselesaikan dengan cara ala Newton dan ala Lagrange. Cara pandang keduanya perlu diungkap sebab cara pandang inilah yang menuntun bagaimana sebuah fenomena fisis seharusnya dipandang dan akhirnya dengan cara bagaimana harus diselesaikan. Cara pandang ini oleh Thomas S. Kuhn disebut sebagai paradigma (Kuhn, 2002). Upaya telisik akan dimulai dari objek kajian fisika. Secara sederhana, pandangan Newton dapat diringkas, bahwa alam semesta terdiri dari partikel-partikel benda. Antar partikel-partikel ini terjadi interaksi melalui apa ayang disebut sebagai kekuatan antarpartikel atau gaya. Adanya kekuatan partikel ini akhirnya menciptakan hukum gerak.
- 2. Dalam kaitannya dengan artikel ini, maka hukum gerak tersebut merupakan hukum kedua Newton, yakni = = dengan F adalah gaya, m adalah massa partikel benda dan a adalah percepatan sistem. Pada dasarnya, hampir semua interaksi dalam mekanika klasik dapat disederhanakan dan diselesaikan dengan persamaan ini. Oleh karena itu, salah satu ciri khas mekanika Newtonian selain reduksionis adalah adanya gaya-gaya yang bekerja dalam sistem tersebut. Pandangan Newton bahwa sebuah sistem fisis dapat diselesaikan persamaan geraknya dengan melakukan reduksi sebagai titik-titik materi kemudian dikembangkan oleh Bernoulli melalui konsep usaha maya dan d'Alembert yang terkenal sebagai asas d'Alembert. Dalam pandangan ini, sistem fisis tidak dipandang sebagai sistem titik-titik materi lagi, tetapi sebagai sistem mekanik, yakni sistem dimana gerakan bagian-bagiannya saling berkaitan, tak bebas satu sama lain. Upaya yang dilakukan oleh Lagrange bersandar pada hasil kerja Bernoulli dan d'Alembert. Untuk menyelesaikan sistem fisis yang dipandang sebagai sistem mekanik ini, Lagrange tetap menggunakan hukum kedua Newton sebagai pijakan awal, kemudian dilakukan perumuman sampai didapat persamaan Lagrange L = T - V. Berdasarkan persamaan tersebut dapat dikenali dengan mudah bahwa mekanika Lagrange memiliki beberapa ciri yakni tidak lagi mengindahkan gaya-gaya yang bekerja dalam sistem mekanik, hanya berkepentingan dengan besaran skalar tenaga (kinetik dan potensial), memandang sistem mekanik sebagai satu kesatuan sehingga untuk menyelesaikannya tidak dipecah menjadi kepingan-kepingan kecil seperti dalam mekanika Newtonian. Karena itu, cara pandang Lagrangian merupakan cara pandang yang holistik terhadap suatu sistem mekanik. http://rachmadresmi.blogspot.com/2010/01/paradigma-mekanika-newtonian-vs.html Berikut ini akan dibahas beberapa kehandalan persamaan Lagrange untuk menyelesaikan masalah-masalah gerak. Prosedur umum yang digunakan untuk mencari persamaan defferensial gerak dari sebuah sistem yaitu sebagai berikut: 1. Pilih sebuah kumpulan koordinat untuk menyatakan konfigurasi sistem. 2. Cari energi kinetik T sebagai fungsi koordinat tersebut besertaturunannya terhadap waktu.
- 3. 3. Jika sistem tersebut konservatif, cari energi potensial V sebagai fungsi koordinatnya atau jika sistem tersebut tidak konservatif, cari koordinat rampatan Qk. Berikut ini adalah beberapa contoh pemakaiannya: 1. Pandanglah sebuah partikel bermassa m yang bergerak akibat pengaruh gaya sentral pada sebuah bidang. Rumuskan persamaan gerak partikel tersebut. Misalkan koordinat polar (r,儔) digunakan sebagai koordinat rampatan. Koordinat Cartesian (r,儔) dapat dihubungkan melalui: x = r cos x = r sin Energi kinetik partikel dapat ditulis 2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2T mv m x y m r r Energi potensial oleh gaya sentral = ( 2 + 2)1/2 = Persamaan Lagrange untuk sistem ini yaitu 2 2 21 2 k L T V m r r r Dari persamaan Lagrange: kkk q V q T q T dt d k k d L L 0 dt q q 駈 緒 駈 Substitusi q1 = r dan q2 = , diperoleh: d L L 0 dt r r 駈 緒 駈 d L L 0 dt 駈 緒 駈 駈縁
- 4. Dari kedua persamaan di atas diperoleh: 2 2 L mr r d L mr dt r L k mr r r 駈 緒 駈 2 2 2 k mr mr r Untuk partikel yang bergerak dalam medan konservatif : 2 V(r) k F(r) r r r Jadi : 2 2 rmr mr F Dari persamaan Lagrange : 2L mr 駈 L 0 駈 2d L 2mrr mr dt 駈 縁 縁 駈縁 2 2mrr mr 0縁 atau : 2d dJ mr 0 dt dt Hal ini berarti bahwa J merupakan momentum sudut yang nilainya konstan. Integrasi persamaan di atas menghasilkan 2 J mr = konstan Berdasarkan persamaan di atas dapat dikatakan bahwa dalam medan konservatif momentum sudut J, merupakan tetapan gerak.
- 5. http://www.slideshare.net/7779/persamaan-lagrange-dan-hamilton Untuk mencari persamaan diferensial gerak sebuah benda yang dinyatakan dalam koordinat rampatan, kita dapat memulai dengan persamaan berikut: iii xmF (1) dan selanjutnya kita akan mencoba menyatakan persamaan tersebut dalam q. Pendekatan pertama yang akan kita pakai adalah dari persamaan energi. Kita akan menghitung energi kinetik T dalam bentuk koordinat Kartesian dan selanjutnya kita akan nyatakan dalam koordinat rampatan dan turunannya terhadap waktu. Energi kinetik T dari sebuah sistem yang mengandung N partikel dapat dinyatakan dengan ワ k 1i 2 i 2 i 2 1i2 1 zyxmT ( (2) atau dalam bentuk yang lebih ringkas ditulis sebagai berikut ワ N3 1i 2 ii2 1 xmT (3) Mari kita mencoba menyatakan hubungan antara koordinat x dan q yang juga mengandung waktu t secara eksplisit. Kita dapat misalkan ),,...,,( tqqqxx n21ii (4) dan selanjutnya t x q q x x i k k i i (5) Dalam pembahasan selanjutnya, kita tetapkan bahwa harga i adalah 1,2, ..3N dimana N menyatakan jumlah partikel dalam sistem, dan harga k adalah 1,2, . .n; dimana n menyatakan jumlah koordinat rampatan (derajat kebebasan) sistem. Oleh karena itu kita dapat melihat bahwa energi kinetik sebagai fungsi koordinat rampatan, turunannya terhadap waktu, atau mungkin dalam waktu. Dalam banyak hal, waktu t tidak secara eksplisit terkait hubungan antara xi dan qk, sehingga xi/t = 0. Jelaslah bahwa energi kinetik T merupakan fungsi kuadrat yang homogen dari kecepatan rampatan kq
- 6. Dari persamaan k i k i q x q x (6) Kalikan kedua ruas (ruas kiri dan kanan) dengan ix dan diferensialkan terhadap t, akan diperoleh: 件 э 緒件 э k i i k i i q x x dt d q x x dt d k i i k i i q x x q x x (7) atau 緒 2 x qq x x 2 x qdt d 2 i kk i i 2 i k (8) Jika selanjutnya kita kalikan mi dan kita gunakan hubungan iii Fxm 緒 , kita dapat peroleh 緒 2 xm qq x F 2 xm qdt d 2 ii kk i i 2 ii k (9) Lakukan penjumlahan terhadap i akan diperoleh : 件 э i kk i i k q T q x F q T dt d (10) Dari definisi gaya rampatan kita peroleh k k k q T Q q T dt d (11) Ini adalah persamaan diferensial gerak yang dinyatakan dalam koordinat rampatan dan dikenal dengan persamaan Lagrange untuk gerak.Dalam kasus gerakannya adalah konservatif, persamaan Lagrange dapat ditulis sebagai berikut:
- 7. kkk q V q T q T dt d (12) Persamaan ini biasanya ditulis dalam bentuk yang lebih singkat dengan mendefinisikan fungsi Lagrangian L yakni L = T - V (13) Yang berarti bahwa kita dapat menyatakaan T dan V dalam koordinat rampatan. Oleh karena V = V(qk) dan 0qV k 緒駈 / , kita peroleh kk q T q L dan kkk q V q T q L (14) Persamaan Lagrange dapat ditulis kk q L q L dt d (15) Persamaan diferensial gerak untuk suatu sistem konservatif dapat dicari jika kita ketahui fungsi Lagrangian dalam bentuk koordinat tertentu. Di sisi lain, jika gaya rampatan tidak konservatif, misalkan nilainya adalah ' kQ , maka kita dapat menuliskan k kk q V QQ ' (16) Selanjutnya kita dapat mendefinisikan sebuah fungsi Lagrangian L = T - V, dan menuliskan persamaan diferensial gerak dalam bentuk k k k q L Q q L dt d ' (17) ' k k k d L L Q dt q q (18) Bentuk di atas lebih mudah dipakai jika gaya gesekan diperhitungkan.