03 Sistemes d'equacions
?
0 likes?296 views
Tema 3 Matem¨¤tiques aplicades CCSS, 2n de Batxillerat
03 Sistemes d'equacions
- 1. Tema 3: Sistemes d'equacions 1. Introducci¨® 2. Resoluci¨® pel m¨¨tode de Gauss 3. Teorema de Rouch¨¦-Fr?benius 4. Resoluci¨® per equaci¨® matricial simple 5. Resoluci¨® per la regla de Cramer 6. Sistemes homogenis 7. Sistemes amb par¨¤metres
- 2. 1. Introducci¨® a11 x+a12 y+a13 z=b1 A= ( a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 ) p52 E5, 10, 12 a21 x+a22 y+a23 z=b2 a31 x+a32 y+a33 z=b3 Sist. incompatible (0 solucions) Sist. compatible determinat (1 sol.) Sistema compatible indeterminat (¡Þ sol.) 4.Resoluci¨® per equaci¨® matricial simple X = ( x y z ) B= ( b1 b2 b3 ) ( a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 )¡¤ ( x y z)= ( b1 b2 b3 ) A¡¤ X =B ; X =A?1 ¡¤ B p42 E1, 2b
- 3. 2. Resoluci¨® per Gauss a11 x+a12 y+a13 z=b1 ( a11 a12 a13 b1 a21 a22 a23 b2 a31 a32 a33 b3 ) p44 E2 a21 x+a22 y+a23 z=b2 a31 x+a32 y+a33 z=b3 Matriu ampliada (A*) ( a11 a12 a13 b1 0 a22 a23 b2 0 0 a33 b3 ) a11 x+a12 y+a13 z=b1 a22 y+a23 z=b2 a33 z=b3 Discussi¨® de sistemes: -Si acabem 0 0 0 0: SCI (m¨¦s inc¨°gnites que equacions) -Si acabem 0 0 2 4: SCD -Si acabem 0 0 0 -2: SI p46 E3, 3
- 4. 3. Teorema de Rouch¨¦-Fr?benius p50 E4, 7, 8, 9 -Si Rang (A) ¡Ù Rang (A*): Sistema Incompatible -Si Rang (A) = Rang (A*): Sistema Compatible -si aquest Rang = n¨²m. inc¨°gnites, SCD -si aquest Rang < n¨²m. inc¨°gnites, SCI 5. Regla de Cramer Es pot utilitzar quan: n¨²m. equacions = n¨²m. inc¨°gnites determinant de la matriu de coeficients ¡Ù 0 Si tenim x, y i z en un sistema de tres equacions, x= ¨OAx¨O ¨OA¨O y= ¨OAy¨O ¨OA¨O z= ¨OAz¨O ¨OA¨O essent Ax la matriu obtinguda de substituir en A la columna dels coeficients x per la columna dels termes independents, Ay bla bla i Az bla bla bla. p55 14, 15
- 5. La regla de Cramer per a SCI: S'obv?a la tercera equaci¨®, i en les dues primeres la ¡°z¡±, que ara ¨¦s ¡°¦Ë¡±, es passa a fer companyia als termes independents. 3x+ y?z=2 ?2x+ y?z=1 x+2y?2z=3 -Rang(A) = 2 -Rang(A*) = 2 2 < n¨²m inc¨°g. SCI 3x+ y=2+¦Ë ?2x+ y=1+¦Ë ¨OA¨O=¨O3 1 ?2 1¨O=5 ¨OAx¨O=¨O2+¦Ë 1 1+¦Ë 1¨O=2+¦Ë?1?¦Ë=1 ¨OAy¨O=¨O3 2+¦Ë ?2 1+¦Ë¨O=3+3¦Ë+4+2¦Ë=5¦Ë+7 x= 1 5 y=¦Ë+ 7 5 z=¦Ë p56 16
- 6. 6. Sistemes homogenis p58 E7 17 Un sistema homogeni ¨¦s aquell en el qu¨¨ tots els termes independents s¨®n zeros. a11 x+a12 y+a13 z=0 a21 x+a22 y+a23 z=0 a31 x+a32 y+a33 z=0 Sempre ¨¦s compatible, ja que Rg(A) = Rg(A*) Una de les solucions sempre ¨¦s trivial: x = 0, y = 0, z = 0 Si Rang = n¨²m. inc¨°gnites, la soluci¨® ¨¦s la trivial; si Rang < n¨²m. inc¨°gnites, ¨¦s un SCI. 7. Sistemes amb par¨¤metres Es far¨¤ ¨²s de Rouch¨¦-Fr?benius per fer-ne la discussi¨®, i per resoldre'l, si ¨¦s el cas, de Cramer (Atenci¨®!!: ¦Ë no t¨¦ per qu¨¨ ser z). p60 exemple no numerat, 19, 20 18, E10, E11, E12, E13, 21 a 29 Act Finals: totes